3 अलग-अलग बक्से के बीच 3 समान लाल गेंदों और 3 समान सफेद गेंदों को वितरित करने के तरीकों की संख्या, कोई बॉक्स खाली नहीं है?

शुरू में हमारे पास है $6$सफेद गेंदों। हम ले सकते हैं$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, या $\{2,2,2\}$ बक्से में गेंदों, साथ $3$, $6$, $1$तीनों मामलों में अलग-अलग आदेश। अब हम छह गेंदों में से तीन को लाल रंग में रंगते हैं। में$\{4,1,1\}$ मामले में हम तीन पेंट कर सकते हैं $4$ लाल ($1$ रास्ता), दो $4$ लाल ($2$ तरीके), या में से एक $4$ लाल ($1$मार्ग); बनाता है$4$तरीके। में$\{3,2,1\}$ मामले हम तीनों को पेंट कर सकते हैं $3$ लाल ($1$ रास्ता), तीन में से दो लाल ($2$ तरीके), एक $3$ लाल ($2$ तरीके), या कोई भी नहीं $3$ लाल ($1$मार्ग); बनाता है$6$तरीके। में$\{2,2,2\}$ मामला हम बना सकते हैं $2$ तथा $1$ अलग-अलग बॉक्स में लाल गेंद ($6$ तरीके) या प्रत्येक बॉक्स में एक लाल गेंद ($1$मार्ग); बनाता है$7$ तरीके।

सभी में, हैं $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ विभिन्न स्वीकार्य वितरण।

पहले बॉक्स में केस ए। 4 बॉल।

1. बॉक्स में हम 3 लाल गेंदें और 1 सफेद या 3 सफेद गेंदें और 1 लाल पा सकते हैं। इसका मतलब है कि दूसरे और तीसरे बॉक्स के लिए एक ही व्यवस्था। उप-योग: 2 क्रमपरिवर्तन
2. बॉक्स में हम 2 लाल गेंद और 2 सफेद गेंद पा सकते हैं। इसका मतलब है कि दूसरे और तीसरे बॉक्स के लिए दो ऑर्गेनाइज अरेंजमेंट हैं। उप-योग: 2 क्रमपरिवर्तन
   कुल: 4 क्रमपरिवर्तन

पहले बॉक्स में केस बी। 3 बॉल।

1. 3 लाल या 3 सफेद। इसका मतलब है दूसरे बॉक्स में 2 अरेंजमेंट। उप-योग: 4 क्रमपरिवर्तन
2. 2 लाल + 1 सफेद या 1 लाल + 2 सफेद। इसका अर्थ है अन्य बक्सों में 4 संभावित अरेंजमेंट। सबटोटल: 8 क्रमपरिवर्तन
   कुल: 12 क्रमपरिवर्तन

पहले बॉक्स में केस सी। 2 बॉल।

1. 2 लाल या 2 सफेद। इसका मतलब है कि दूसरे बॉक्स में 6 संभावित अरेंजमेंट। सबटोटल: 12 क्रमपरिवर्तन
2. 1 लाल और 1 सफेद। इसका मतलब है दूसरे बॉक्स में 7 संभावित अरेंजमेंट। उप-योग: 7 क्रमोन्नति
   कुल: 19 क्रमपरिवर्तन

पहले बॉक्स में केस डी। 1 बॉल। केवल एक तरीका: 1 लाल या 1 सफेद। इसका अर्थ है अन्य बक्सों में 10 संभावित अरेंजमेंट।
कुल: 20 क्रमपरिवर्तन

निष्कर्ष: 4 + 12 + 19 + 20 = 55संभव क्रमपरिवर्तन।