आदर्श स्थान की कमजोर टोपोलॉजी

Question

लश्कर $X,Y$ दो आदर्श स्थान हो और $T:X\rightarrow Y$ बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर हो। अब विचार करें $X,Y$कमजोर टोपोलॉजी के साथ। मेरा प्रश्न यह है कि$T$ नक्शे के कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट सेट $X$ के कमजोर कॉम्पैक्ट सेट के लिए $Y$ और दूसरा प्रश्न यह है कि $T$ यदि हम सुसज्जित हों तो निरंतर मानचित्र बना रहता है $X,Y$ कमजोर टोपोलॉजी के साथ।

Answer 1

अगर $V$ का एक सबबेसिस तत्व है $\tau_w$ में $Y$ युक्त $0_Y$, तो एक कार्यात्मक है $\phi:Y\to \mathbb F$ तथा $\epsilon>0$ ऐसा है कि $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$। फिर,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$। अब$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ एक (आदर्श-) निरंतर रैखिक कार्यात्मक है $T^{-1}(V)$ में कमजोर रूप से खुला है $X$ और इसमें शामिल है $0_X$। यह इस प्रकार है कि$T$कमजोर-कमजोर निरंतर है। यह दूसरे प्रश्न का एक पुष्टिकारक उत्तर देता है, जो पहले मुड़ता है एक पुष्टिकारक उत्तर देता है।

Answer 2

यह उत्तर कुछ नया प्रदान नहीं करता है, लेकिन मुझे लगता है कि अनुक्रम के संदर्भ में एक स्पष्टीकरण स्पष्ट हो सकता है। कॉम्पैक्टनेस प्रश्न कमजोर-से-कमजोर निरंतरता (मनमाना टोपोलॉजी के लिए निहितार्थ) से आता है, इसलिए यह बाद दिखाने के लिए पर्याप्त है।

मान लीजिए $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$। फिर, सभी के लिए$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$। विशेष रूप से, फॉर्म के किसी भी दोहरे$g\circ T$, कहां है $g\in Y^*$, संतुष्ट करेगा $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ लेकिन यह सिर्फ है $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$।