आदेश 21 के मेटासीक्लिक समूह का एहसास

Question

मैं आदेश के गैर-समूह समूहों को समझना चाहूंगा $pq$ (साथ से $q | p-1$) बेहतर है। के लिये$q=2$ यह डायडरल ग्रुप है, जिसके साथ मैं सहज हूं।

प्रत्येक के लिए $pq$मुझे पता है कि इन समूहों में से एक है। यह एक सेमीडायरेक्ट प्रोडक्ट है। इसकी सिल्लो संरचना है$n_q = p$ तथा $n_p = 1$। मैं उनके बारे में ज्यादा नहीं जानता।

मैंने निम्नलिखित दिलचस्प समूह आदेशों की गणना 21, 39, 55, 57, 93 की है। और मैं 21 के बारे में पूछूंगा।

21 के समरूपता क्रम के गैरबलियन समूह क्या है?

मैं इस पर शोध कर रहा हूं और अच्छा जवाब नहीं मिला है। मुझे नहीं लगता कि यह एक पॉलीहेड्रा या किसी भी घुमा पहेली के रोटेशन की समरूपता है। मैंने देखा है कि फेनो प्लेन में प्रत्येक लाइन पर 7 लाइन और 3 पॉइंट होते हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि इसका उपयोग किया जा सकता है या नहीं। क्या ये समूह किसी प्रकार के डिजाइन के कोड पर स्वाभाविक रूप से कार्य कर रहे हैं? या फिर गहरे स्तर पर उन्हें समझने का एक बेहतर तरीका है? धन्यवाद!

Answer 1

हर क्षेत्र में $F$ affine परिवर्तनों का एक समूह है

$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$

एफ़िन लाइन पर अभिनय $\mathbb{A}^1(F)$ (जो एक सेट के रूप में है $F$) है। समान रूप से यह का एक समूह है$2 \times 2$ मैट्रिसेस

$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$

एक परिमित क्षेत्र पर $F = \mathbb{F}_q$ हमें नॉनबेलियन का परिवार मिलता है (सिवाय कब $q = 2$) आदेश के समूह $q(q - 1)$ जो की कार्रवाई से निर्मित उत्पाद हैं $\mathbb{F}_q^{\times}$ पर $\mathbb{F}_q$गुणा करके। इसके अलावा हम प्रतिबंधित करके इस समूह के उपसमूह पर विचार कर सकते हैं$a$ के उपसमूह के लिए $F^{\times}$। जिन समूहों में आप रुचि रखते हैं, उन सभी का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है।

जिस विशिष्ट समूह में आप रुचि रखते हैं वह तब होता है जब $q = 7$ तथा $a$ उपसमूह में झूठ बोलने के लिए प्रतिबंधित है $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ के वर्ग तत्वों का $\mathbb{F}_7^{\times}$। यह एक फ्रोबेनियस समूह है और उस पृष्ठ के अनुसार यह फानो विमान पर भी कार्य करता है।