आदेश -Statistics [डुप्लिकेट]

Dec 10 2020

यादृच्छिक चर $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ ईद हैं $\mathcal{U}(0, a)$। के वितरण का निर्धारण करते हैं$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ क्या मुझे इसका संयुक्त वितरण ढूंढना चाहिए $\max$ तथा $\min$ और तब के विकर्षण का पता लगाएं $Z_n$, क्योंकि हमारे पास दो अलग-अलग यादृच्छिक चर हैं, मुझे नहीं पता कि यह कैसे करना है!

जवाब

MatthewPilling Dec 10 2020 at 07:04

पहले देखें कि यादृच्छिक वेक्टर $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ पर समर्थित है $(0,a)^2$। मान लीजिए$f$इसका संयुक्त घनत्व है। जबसे$X_{(n)}$ तथा $Y_{(n)}$ हमारे पास स्वतंत्र हैं $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ किसी के लिए $(x,y)\in (0,a)^2$। यह भी देखें कि कैसे$Z_n$ पर समर्थित है $[0,\infty)$, जिसका मतलब है किसी के लिए $z\geq 0$ अपने पास $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ हमारे पास थोड़ा बीजगणित है $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ इस संभावना को दोहरे अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ जो दीखता है $Z_n \sim \text{Exp}(1)$