अगर $fg$ निरंतर है $a$ तब फिर $g$ निरंतर है $a$।

Question

लगता है कि $f$ तथा $g$ खुले अंतराल पर परिभाषित और परिमित हैं $I$ जिसमें है $a$, उस $f$ निरंतर है $a$, और कि $f(a) \neq 0$। अगर$fg$ निरंतर है $a$ तब फिर $g$ निरंतर है $a$।

$\underline{Attempt}$

जबसे $f$ पर अभिन्न है $a$ तथा $fg$ निरंतर $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

तोह फिर

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

जबसे $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ निरंतर है $a$

Answer 1

आपका प्रमाण सही नहीं है। तुम अस्तित्व मान रहे हो$\lim_{ x \to a} g(x)$लेकिन आपको इस सीमा के अस्तित्व को साबित करना होगा। लिखो$g(x)$ जैसा $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ वह देख रहा है $f(x) \neq 0$ अगर $|x-a| $काफी छोटा है। अब आप देख सकते हैं कि सीमा मौजूद है और बराबर है$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$।

[वहां मौजूद $\delta >0$ ऐसा है कि $|x-a| <\delta$ का तात्पर्य $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$। इसलिए$|x-a| <\delta$ का तात्पर्य $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ इसलिए $f(x) \neq 0$] हो गया।