अगर निर्धारित करें $f(x)=x^2$ दिए गए डोमेन में समान रूप से निरंतर है।

Aug 18 2020

निर्धारित करें कि निम्न फ़ंक्शन दिए गए डोमेन में समान रूप से निरंतर है।

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

मेरी कोशिश:

डोमेन के लिए $[0,\infty]$। चलो$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

फिर $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

परंतु, $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

फिर $f(x)=x²$ डोमेन में समान रूप से निरंतर नहीं है $[0,\infty]$

डोमेन के लिए $[0,1]$। चलो$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

फिर $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

परंतु, $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

फिर $f(x)=x²$ डोमेन में समान रूप से निरंतर नहीं है $[0,1]$

मुझे यकीन नहीं है कि अगर मेरा तरीका सही है। कोई भी सुझाव बढ़िया होंगे!

जवाब

2 TheSilverDoe Aug 18 2020 at 04:35

यह देखने का एक और तरीका है कि फ़ंक्शन समान रूप से निरंतर है $[0,1]$ हेन की प्रमेय का उपयोग करके यह साबित करना है कि समान निरंतरता की परिभाषा संतुष्ट है।

वास्तव में, चलो $\varepsilon > 0$। चलो$\eta = \varepsilon/2$। सबके लिए$x,y \in [0,1]$ ऐसा है कि $|x-y|<\eta$, आपके पास $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

तो परिभाषा संतुष्ट है।

1 Vercassivelaunos Aug 18 2020 at 04:02

डोमेन के लिए आपका तरीका $[0,\infty)$सही है, और आपका परिणाम भी सही है। लेकिन डोमेन के लिए$[0,1]$, यह आपके चुने जाने के बाद से काम नहीं करता है $x_n,y_n$डोमेन में नहीं हैं। इसके बजाय, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि कॉम्पैक्ट डोमेन पर निरंतर फ़ंक्शन समान रूप से निरंतर हैं।

1 inavda Aug 18 2020 at 04:01

यह निश्चित रूप से समान रूप से निरंतर है $[0,1]$। सामान्य तौर पर, एक सतत फ़ंक्शन हमेशा एक कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से निरंतर रहेगा (जैसा कि @Bungo ने टिप्पणियों में बताया है)।

टिप्पणियों में प्रश्न को संबोधित करने के लिए:

उदाहरण के लिए, किसी के लिए $\varepsilon$, अगर हम सिर्फ लेते हैं $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, अपने पास $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

PS @TheSilverDoe का जवाब बहुत साफ है, इसलिए मैं जाँच करूँगा कि बाहर एक :)