अगर $\widehat{M}$ एक स्वतंत्र है $\widehat{R}$-मॉडल का दर्जा $n$ तब फिर $M$ का एक जनरेटिंग सेट है $n$ तत्वों के रूप में एक $R$-मापांक।
मेरे आखिरी सवाल के संदर्भ में अगर$\widehat{M}$ एक स्वतंत्र है $\widehat{R}$-मोडुले, तब $M$ एक स्वतंत्र है $R$-मापांक, $R$ज़ारकी रिंग है। मैं निम्नलिखित प्रश्न पूछना चाहता हूं।
लश्कर $R$ के साथ एक जरकी अंगूठी हो $I$-दैनिक टोपोलॉजी, $I \subset J(R)$। लश्कर$M$ सूक्ष्मता से उत्पन्न होना $R$-मॉडल ऐसे कि द $I$-सुविधा पूर्ण $\widehat{M}$ एक स्वतंत्र है $\widehat{R}$-मॉडल का दर्जा $n$। फिर मैं कैसे दिखा सकता हूं$M$ का एक जनरेटिंग सेट है $n$ तत्वों के रूप में एक $R$-मापांक।
मुझे मदद की ज़रूरत है।
जवाब
विचार करें $n$ के जनरेटर $\widehat M$, $x_1,...,x_n$।
लश्कर $y_1,...,y_n$ में उनकी छवि को निरूपित करें $M/IM$। फिर,$y_1,...,y_n$ उत्पन्न $M/IM$।
वास्तव में, $\widehat M\to M/IM$ विशेषण है ($M\to \widehat M\to M/IM$ है), इसलिए यदि $z\in M/IM$, चलो $w$ किसी भी तरह का हो, $w= \sum_i \lambda_i x_i$ इसका आशय है $z =\sum_i \mu_i y_i$, साथ से $\mu_i$ की छवि $\lambda_i$ के अंतर्गत $\widehat R\to R/I$।
लेकिन अब कब से $I\subset J(R)$, नाकायमा की लेम्मा आपको बताती है कि कोई भी एंटीकेन्ट्स $y_1,...,y_n$ उत्पन्न $M$ (यहाँ, इस धारणा का उपयोग करें कि $M$ )