अजीब आकार के साथ Følner दृश्यों
लश्कर $G$एक असतत और बारीक से उत्पन्न समूह हो। याद करें कि$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$एक Følner अनुक्रम है अगर$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ हर एक के लिए $g \in G$। जैसा कि सर्वविदित है कि, एक Følner अनुक्रम का अस्तित्व की अक्षमता के बराबर है$G$।
यह अक्सर कहा जाता है कि Følner दृश्यों में अजीब आकार होते हैं। मेरा नरम सवाल है: हमारे पास कौन से उदाहरण हैं जो इस दावे का समर्थन करते हैं? बेशक अगर$G$उप-विकास क्षमता का होता है, तब गेंदों का एक क्रम Følner अनुक्रम बनाता है, और इसमें एक अजीब आकार नहीं होता है। इसलिए, अधिक विशेष रूप से: घातीय वृद्धि के समूहों के कौन से उदाहरणों से हमें पता चलता है कि गेंद से बने Følner अनुक्रम स्पष्ट नहीं हैं?
उदाहरणों के उदाहरणों के रूप में, जो मैं पूछ रहा हूं, स्टार-आकार के फॉल्नर अनुक्रम एक निश्चित रूप के फॉल्नर सेटों के लिए पूछता है, जबकि फॉल्नर सेटों और गेंदों का एक उत्तर स्पष्ट आयतों से बना होता है (जैसा कि गेंदों के विपरीत)। इसी तरह, कुल्हाड़ी + बी समूह में आयतों से बना एक Følner अनुक्रम होता है, जहां एक पक्ष दूसरे की तुलना में तेजी से बड़ा होता है।
जवाब
चित्रों की तुलना में यहाँ बीजगणित अधिक उपयोगी है, लेकिन चित्र मज़ेदार हैं, इसलिए यहाँ जाता है। लैम्पलीपर के बारे में मेरी टिप्पणी को प्रमाणित करने के लिए, एक विशिष्ट गेंद की त्वरित रेंडरिंग और लैम्पलीयर के Følner सेट। वास्तव में मुझे नहीं पता कि इनमें से कौन सा सुंदर है, लेकिन Følner सेट वास्तव में वह है जो गेंद की तरह दिखता है।
दो चित्रों को अलग-अलग कोणों से लिया गया है और इस प्रकार एक स्टिरोग्राम बनाया जाता है, इसलिए यदि आप अपनी दाईं आंख के साथ बाईं ओर के चित्र को देखते हैं और इसके विपरीत आपकी स्टीरियोप्सिस को किक करना चाहिए। मुझे यह उपयोगी लगता है, यदि आप नहीं करते हैं तो आप किसी को भी अनदेखा कर सकते हैं। तस्वीरें।
सबसे पहले, गेंद या त्रिज्या $3$जनरेटर के साथ जहां सिर चलता है। जब सिर दाईं ओर बढ़ता है, तो आप आरेख पर जाते हैं। मैं कुछ सम्मेलनों का उपयोग कर रहा हूं, जो उम्मीद के मुताबिक अनुमान हैं।
यहां समान जनरेटर के साथ एक विशिष्ट Følner सेट है।
यह प्रश्न 50 के दशक और 60 के दशक में फोलनर प्रमेय सिद्ध होने के बाद लोकप्रिय था। अजीब फोल्नर सेट के कई उदाहरणों का निर्माण किया गया था। उन समूहों के विशिष्ट उदाहरण जहां फोल्लर सेट नहीं हैं और न ही गेंदें लैम्पप्लेयर समूह हैं और अनंत चक्रीय जीटीएपीएस के पुष्पांजलि उत्पाद हैं। अधिक हाल ही के कागजात के लिए अन्ना एर्सक्लर देखें सूक्ष्मता से उत्पन्न समूहों के isoperimetric प्रोफाइल पर। गीत। Dedicata, 100: 157–171, 2003 और उसमें संदर्भ।
आपके गैर-नरम प्रश्न का एक उत्तर यह है कि निम्नलिखित समूहों में सभी [कम से कम एक] सेट है जहाँ गेंदों को फॉलेनर के रूप में नहीं जाना जाता है , लेकिन कुछ अन्य ("आयताकार") क्रम है: सॉल्वेबल बॉमस्लैग-सॉलिटर, कुछ पुष्पांजलि उत्पाद (लैम्पप्लेयर सहित), के कुछ विस्तार$\mathbb{Z}^d$ द्वारा द्वारा $\mathbb{Z}$ (उन मैट्रिक्स द्वारा दिए गए जो आदर्श 1 के eigenvalues के साथ नहीं हैं), कुछ $ax+b$ समूह और मूल रूप से घातीय वृद्धि के लगभग किसी भी सामान्य समूह जिनके विकास श्रृंखला तर्कसंगत है और गणना की गई है (विवरण के लिए नीचे देखें)।
फोलनर सेटों की "विचित्रता": जैसा कि इस प्रश्न में उल्लेख किया गया है, [गेंदों के अनुक्रम की एक बाद] गेंदों का उपयोग किसी भी समूह के उप-विकासात्मक विकास में एक प्राकृतिक फोलर अनुक्रम होता है। अब, जैसा कि दूसरों द्वारा बताया गया है, गेंदों (कुछ परिमित उत्पादक सेट के लिए) काफी "बदसूरत" हैं। इसे सटीक बनाया जा सकता है अगर कोई एक इष्टतम फॉल्नर सेट की अवधारणा पर विचार करता है:
लश्कर $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (द) $\inf$ सभी सेटों पर चलता है $A$ आकार का $\leq n$) isoperimetric प्रोफ़ाइल हो। फिर एक सेट$F$ अगर इष्टतम है $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$। शब्दों में: अगर एक सेट$E$ से बड़ा [कार्डिनैलिटी-वार] नहीं है $F$, तो यह isoperimetric अनुपात है $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, के isoperimetric अनुपात को हरा नहीं करता है $F$।
कोई यह देख सकता है (लूमिस-व्हिटनी असमानता का उपयोग करके) जो इष्टतम फॉल्नर सेट करता है $\mathbb{Z}^d$(सामान्य जेनरेटिंग सेट) [हाइपर] क्यूब्स हैं (या वे आयताकार रूप में हैं)। यह कहने का एक नायाब तरीका है कि गेंदें "अनाड़ी" होती हैं। तुलनात्मक रूप से इष्टतम सेट "अजीब" नहीं हैं (क्योंकि उन्हें बहुत अच्छी तरह से चुना जाना चाहिए)।
विचित्रता पर अधिक जानकारी के लिए, नीचे दिए गए साइड नोट्स देखें।
स्पष्ट उदाहरण: अगला, घातीय वृद्धि के एक समूह को देखते हुए, यह एक खुला सवाल है कि क्या गेंदों के अनुक्रम के बाद की कोई भी स्थिति फोलर है। मैंने एक आंशिक उत्तर दिया जो दिखाता है कि यह मामला नहीं है जब समूह [एक साथ उत्पन्न सेट की पसंद के साथ] घातीय वृद्धि पर चुटकी ली हो। इसमें कई पुष्पांजलि उत्पाद, सॉल्वेबल बॉमस्लैग-सॉलिटर समूह और कुछ एक्सटेंशन शामिल हैं$\mathbb{Z}^d$ द्वारा द्वारा $\mathbb{Z}$ (विवरण के लिए लिंक देखें)।
इन समूहों को अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पादों के रूप में लिखा जा सकता है। अगर$G$ तथा $H$ एमनेबल हैं, फिर एक दिखा सकता है $G \rtimes H$ अमेनबल है और यह कि फॉर्नर सेट फॉर्म के हैं $E_n \times F_n$ (कहां है $E_n$ [सम्मान करें। $F_n$] का फॉलेन सीक्वेंस है $G$ [सम्मान करें। $H$]]। उस अर्थ में, फॉलेनर सेट करता है कि हम (आलसी, इस अर्थ में कि वे एक सामान्य प्रमाण द्वारा निर्मित होते हैं) ऐसे समूहों में "आयताकार" होते हैं।
इसलिए, ऊपर उल्लिखित समूह [सॉल्वेबल बॉमस्लैग-सॉलिटेर, कुछ मेटाबेलियन समूह, ऐसे समूह हैं जिनकी विकास श्रृंखला तर्कसंगत है और अभिसरण की त्रिज्या में दो ध्रुव नहीं हैं (जिसमें कई पुष्प उत्पाद शामिल हैं और $ax+b$-ग्रुप्स]] आपके दूसरे प्रश्न (कुछ जेनरेटिंग सेट के लिए) का सीधा उत्तर है। एक को पता है कि गेंदें (wrt जनरेटिंग सेट) फोल्नर नहीं हैं, लेकिन कुछ "आयताकार" सेट है (बस सटीक होने के लिए: एक एकल ध्रुव वाले समूह हो सकते हैं जो इन समूहों के लिए अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद या विस्तार योग्य समूह नहीं हैं;] यदि कोई जाना जाता है] कोई "आयताकार" सेट नहीं हैं)।
गैर-विभाजित एक्सटेंशन के लिए यॉर्कर द्वारा फोलनर सेट का विवरण वहां पर दिया गया था । ध्यान दें कि कोई भी गैर-विभाजित एक्सटेंशन के लिए "आयताकार" के अर्थ को अनुकूलित कर सकता है: उपसमूह के कुछ फोलनर सेट के भागफल समय के फोलनर सेट का एक प्रीमैज लेने से।
तो अब कोई सोच सकता है कि "आयताकार" (और अब गेंदों नहीं) सेट पसंदीदा हैं। लेकिन फिर मध्यवर्ती विकास के सरल समूह भी हैं इस प्रश्न को देखें । और (यदि इस तरह के समूहों के लिए नहीं है, तो उपसंचाई वृद्धि के अन्य सरल समूहों के लिए) मुझे लगता है कि गेंदें केवल एक ही उम्मीदवार हैं।
मूल रूप से, मुझे लगता है कि समस्या के साथ अधिक करने के लिए है कि हम कैसे बनाने योग्य समूहों का निर्माण करते हैं। हम हमेशा चार गुणों का उपयोग करते हैं (विस्तार, उपसमूह, भागफल और प्रत्यक्ष सीमा)। इसलिए लोग बुनियादी मानदंड के रूप में विकास के साथ शुरू करते हैं, और उन चार गुणों का उपयोग करते हैं (संभवतः ऐसा करने के कई तरीके हैं)। यह आपको दिए गए समूह के लिए ज्ञात फोलनर सेट देगा। एक मूर्खतापूर्ण उदाहरण के रूप में आप कह सकते हैं कि प्राकृतिक फॉल्नर सेट करता है$\mathbb{Z}^3$ सिलिंडर हैं (गेंदों में) $\mathbb{Z}^2$ समय गेंदों में $\mathbb{Z}$) का है।
साइड नोट 1: यह साबित करने के लिए एक लंबे समय से खुला प्रश्न है कि (निरंतर) हेइज़ेनबर्ग समूह में ऐसे सेट क्या हैं (हालांकि अनुमानित आकार अच्छी तरह से वर्णित है)। इस सवाल के लिए मेरी प्रेरणा थी ।
साइड नोट 2: जैसा कि यॉर्क ने बताया है, एक फोलनर अनुक्रम दिया गया है$F_n$ आप परिमित सेट के एक मनमाने अनुक्रम पर विचार करके इसे "जितना अजीब चाहते हैं" बना सकते हैं $E_n$ साथ से $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$। इष्टतम फ़ॉलेनर दृश्यों पर विचार करने का एक फायदा यह होगा कि इस तरह के सेट-अप (स्पष्ट नुकसान से बचने के लिए, यह है कि लगभग कोई समूह नहीं हैं जहाँ इष्टतम सेट ज्ञात हों)। एक और नोट यह है कि इस तरह के सेट को जोड़ना$E_n$अपरिवर्तनीय माप पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है (एक निश्चित अल्ट्राफिल्टर के लिए) प्राप्त करता है। ध्यान दें कि सेटों का अनुवाद करने से सीमा माप पर प्रभाव पड़ सकता है।
साइड नोट 3: यहां फॉल्नर सेट के "विचित्रता" का एक और पहलू है। अनुक्रम पर विचार करें$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, साथ ही साथ $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ में सेट $\mathbb{Z}$। फिर फ़ंक्शन पर विचार करें$f(n) = \mathrm{sign}(n)$। अपरिवर्तनीय का अर्थ है कि एक से प्राप्त होता है$P_n$ पर $f$ 1 है (आप जो भी अल्ट्राफिल्टर चुनते हैं), वह जो आपको मिलता है $M_n$ है $-1$ (फिर से, जो भी अल्ट्राफिल्टर है) और अंत में जो आपको मिलता है $A_n$आपके द्वारा चुने गए अल्ट्राफिल्टर पर निर्भर करता है। और आप किसी भी वास्तविक संख्या के लिए निर्माण कर सकते हैं$[-1,1]$ एक क्रम $R_n$जो उस संख्या (अल्ट्राफिल्टर का अनिश्चित काल) में परिवर्तित हो जाता है। अल्ट्राफिल्टर के आधार पर, किसी भी परिमेय संख्या में अभिसरण करने पर, अनुक्रम का निर्माण करना बहुत कठिन नहीं है$[-1,1]$।