आकार की कक्षा को कैसे समझा जाए $1$ इस मामले में
मैं ग्रुप थ्योरी में सेल्फ स्टडी शुरुआती हूं, इसलिए कृपया इस सवाल को सहन करें जिसमें कुछ सरल उत्तर हो सकते हैं। दिया गया$p$-ग्रुप $G$ कुछ प्रमुख के लिए $p$, चलो $H$ का उपसमूह हो $G$। लश्कर$X$ के सभी conjugates का सेट हो $H$।
अब क, $H$ पर कार्य करता है $X$संयुग्मन द्वारा। मैंने पढ़ा कि कम से कम हैं$p$ आकार की परिक्रमा $1$ में $X$।
आकार के साथ कक्षा का एक उदाहरण $1$ है $\{H\} \in X$। यह उदाहरण इस प्रकार है$aHa^{-1}=H$ किसी के लिए $a \in H$ जबसे $H$ एक उपसमूह है, और हमारे पास है $\text{Orb}(H)=H$।
लेकिन मैंने तब से पढ़ा है $p$ प्राइम है, कि कम से कम हैं $p-1$ आकार के अन्य कक्ष $1$। तो एक और कक्षा होनी चाहिए$gHg^{-1} \neq H$ आकार का $1$ में $X$।
मुझे समझ में नहीं आता कि कैसे है $gHg^{-1}$ आकार का हो सकता है $1$ की कार्रवाई के तहत $H$। इसका मतलब यह नहीं होना चाहिए$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ तथा $\text{Orb}(gHg^{-1})$ जरूरी नहीं के बराबर हो $gHg^{-1}$। हालाँकि, इसका आकार होना चाहिए$1$, जिसका मतलब है कि $\text{Orb}(gHg^{-1})$ वास्तव में बराबर होना चाहिए $gHg^{-1}$।
संदर्भ के लिए, यह परिणाम रोटमैन के प्रमेय 4.6 से आया, जहां कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं लगाई गई थीं $H$ तथा $G$ सिवाय इसके कि $H$ का उपसमूह है $p$-ग्रुप $G$ ... मुझे यहां क्या समझ नहीं आ रहा है?
जवाब
ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि यदि $|X| = 1$ तो हमारे पास नहीं होगा $p-1$ अन्य कक्षाएँ तो हमें भी ग्रहण करनी होंगी $|X| \gt 1$।
हम अपने बयान को साबित करने के लिए कक्षाओं के इन दो गुणों का उपयोग करेंगे:
ऑर्बिट्स असंतुष्ट हैं और उनका संघ पूरा सेट है $X$ (यह देखना आसान होना चाहिए)।
कक्षा का आकार समूह क्रम को विभाजित करता है (यह कक्षा-स्टेबलाइजर प्रमेय में सिद्ध होता है)
संपत्ति से (1) हमारे पास वह है $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ कहां है $\mathcal{O}$कार्रवाई की सभी कक्षाओं से युक्त सेट है। अब हम अलग हो गए$\mathcal{O}$ दो अलग-अलग उपसमूह में: $\mathcal{O'}$ तथा $\mathcal{O''}$ कहां है $\mathcal{O'}$ आकार की सभी कक्षाओं का समूह है $1$ तथा $\mathcal{O''}$ की तुलना में अधिक आकार की सभी कक्षाओं का सेट है $1$। इसका मतलब है की$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ जबसे $|Y'| = 1$। संपत्ति से (2) हम जानते हैं कि$|Y''|$ विभाजित $|X| = p^n$ तथा $|Y''| > 1$ जिसका मतलब है कि $|Y''| = p^k$ कहां है $k > 1$ मतलब $p$ विभाजित $|Y''|$। हम देख सकते हैं$X$ एक कक्षा के रूप में जहां समूह क्रिया समूह द्वारा संयुग्मन होती है $G$। इस का मतलब है कि$|X|$ विभाजित $|G| = p^n$। जबसे$|X| > 1$ हमारे पास वह है $p$ विभाजित $|X|$। जबसे$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ बांटना भी है $|\mathcal{O'}|$ मतलब $|\mathcal{O'}| = pm$ कुछ के लिए $m \gt 1$ मतलब $|\mathcal{O'}| \geq p$ जो हम साबित करने की कोशिश कर रहे थे।