अण्डाकार, परवलयिक और अतिपरवलयिक रिमैन सतहों: वर्गीकरण?
रीमैन सतहों पर क्र्रा और फ़ार्कस की पुस्तक में निम्नलिखित (थोड़ी असामान्य) परिभाषा दी गई है:
परिभाषा IV.3.2 ( धारा IV.3 )। लश्कर$M$रीमैन की सतह हो। हम बुला लेंगे$M$ अण्डाकार यदि और केवल यदि$M$कॉम्पैक्ट है। हम बुला लेंगे$M$ अगर और केवल अगर परवलयिक$M$ कॉम्पैक्ट नहीं है और $M$एक गैर-नकारात्मक सबहोमोनिक फ़ंक्शन नहीं करता है। हम बुला लेंगे$M$ अगर और केवल अगर हाइपरबोलिक$M$ एक नकारात्मक गैर-स्थिर सबहार्मोनिक फ़ंक्शन करता है।
सवाल। क्या परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों को चिह्नित करने के लिए कुछ ज्यामितीय तरीका है? उदाहरण के लिए, मान लीजिए$M$ एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह और है $x_1,\ldots, x_n$उस पर अंक हैं। सतह है$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$ परवलयिक?
जवाब
यह कुछ हद तक असामान्य शब्दावली है, लेकिन खुले रीमैन सतहों के वर्गीकरण के सिद्धांत में यह आम है। अधिक मानक संकेतन है$P_G$ "परवलयिक" के लिए, और $O_G$ "हाइपरबोलिक" के लिए।
सतह $M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$ इस अर्थ में परवलयिक है, "हटाने योग्य विलक्षणता प्रमेय" द्वारा (एक उपधर्मी फ़ंक्शन जो बिंदु के छिद्रित पड़ोस में ऊपर से घिरा हुआ है, पूरे पड़ोस में एक सबहार्मोनिक फ़ंक्शन तक विस्तारित होता है)।
फार्म की सतहों के लिए विशेष रूप से कुछ मापदंड हैं $M\backslash E$, कहां है $M$ कॉम्पैक्ट है और $E$एक बंद उपसमूह है। लेकिन ये मानदंड बहुत ज्यामितीय नहीं हैं: वे क्षमता का उपयोग करते हैं। हौसडॉर्फ के उपायों के संदर्भ में कुछ परिणाम दिए जा सकते हैं$E$ लेकिन वे "आवश्यक और पर्याप्त" नहीं हैं।
पुस्तकों में शास्त्रीय परिणाम देखे जा सकते हैं
एम। त्सुजी, आधुनिक फ़ंक्शन सिद्धांत में संभावित सिद्धांत, मारूज़ेन, टोक्यो, 1959 (एक एम्स पुनर्मुद्रण है)।
अहलफ़ोर्स, सरियो, रीमैन सतहें, प्रिंसटन यूपी, 1960।