आंशिक अंश पर एक प्रश्न
मुझे पता है कि आंशिक रूप से कैलकुलस के बारे में व्यावहारिक रूप से कुछ भी नहीं है, इसलिए मैं अग्रिम में माफी मांगता हूं यदि निम्नलिखित एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न है। मैंने पहले ही math.stackexchange पर कोशिश की।
मैं सिर्फ यह पूछना चाहता था कि क्या भिन्नात्मक व्युत्पन्न की धारणा है जो रैखिक है और निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करती है $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ कहां है $\alpha$एक अदिश राशि है। मानक डेरिवेटिव के मामले में हमारे पास होगा$\alpha = n$।
आपका बहुत बहुत धन्यवाद।
जवाब
मूल रूप से पहले और शून्य आदेश ऑपरेटरों से परे इस समीकरण के लिए कोई दिलचस्प समाधान नहीं हैं, भले ही कोई केवल इसके लिए बताए गए बाधा को लागू करता है $n=2$।
सबसे पहले, हम परिकल्पना को चित्रित कर सकते हैं$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ बदलकर $f$ साथ से $f+g, f-g$ मनमाने कार्यों के लिए $f,g$ और घटाना (और फिर विभाजित करके $4$) अधिक लचीली लाइबनिज प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$
मूल्य के आधार पर अब तीन मामले हैं $\alpha_2$:
- $\alpha_2 \neq 1,2$। (२) के साथ लगाना$f=g=1$ उसके बाद हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $D^u(1)=0$, और फिर (2) को फिर से लागू करना $g=1$ हम पाते हैं $D^u(f)=0$। इसलिए हमारे पास तुच्छ समाधान है$D^u=0$ इस मामले में।
- $\alpha_2=2$। फिर$D^u$एक व्युत्पत्ति है और प्रेरण से हमारे पास है$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, साधारण व्युत्पन्न के साथ के रूप में, तो हम बस है $\alpha_n=n$ सभी के लिए $n$ कोई भिन्नात्मक व्यवहार नहीं।
- $\alpha_2=1$। (२) के साथ लगाना$g=1$ हम प्राप्त करते हैं (बीजगणित के थोड़ा बाद) $D^u(f) = mf$ कहां है $m := D^u(1)$। इस प्रकार$D^u$ सिर्फ एक गुणक ऑपरेटर है, जो मानता है $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, इस प्रकार $\alpha_n=1$ सभी के लिए $n$।
इस प्रकार सामान्य व्युत्पत्तियों के अलावा आपके समीकरण के लिए कोई रैखिक समाधान नहीं हैं (जैसे, $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ किसी भी चिकने प्रतीक के लिए $a$) और मल्टीप्लायर ऑपरेटरों $D^u(f) = mf$, अर्थात्, पहले आदेश और शून्य आदेश ऑपरेटरों।
दूसरी ओर, भिन्नात्मक व्युत्पन्न $D^u$ "फ्रैक्शनल चेन रूल" को मानने वाले $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ विभिन्न चिकने कार्यों के लिए $F,f$, जहां त्रुटि $E$इस समीकरण में अन्य दो शब्दों की तुलना में विभिन्न सोबोलेव स्थानों में बेहतर अनुमानों का पालन करता है। विशेष रूप से, के लिए$F(t) = t^n$, हम होंगे $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ "अच्छा" त्रुटि शब्द के लिए $E$। मसलन, लेना$u=n=2$ साथ से $D$ सामान्य व्युत्पन्न, हमारे पास है $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ साथ से $E$" कैरे डू शैंप " ऑपरेटर$$ E := 2 (Df)^2.$$ ध्यान दें कि त्रुटि $E$ द्वारा समान रूप से नियंत्रित किया जाता है $C^1$ का मानदंड $f$लेकिन (3) में अन्य दो शब्द नहीं हैं। मेरा पिछला MathOverflow उत्तर देखेंhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 कुछ संदर्भों और आगे की चर्चा के लिए।
ऐसा प्रतीत होता है कि आप वास्तव में चाहते हैं $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, कहां है $\alpha$ एक अदिश राशि है।
यह सच होने का कोई कारण नहीं है, और यह वास्तव में सामान्य रूप से गलत है। जैसे, के लिए$n=2$और Riemann - लिओविले आंशिक व्युत्पन्न की$f:=\exp$ साथ से $u=1/2$, $a=0$, तथा $x>0$ अपने पास $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ जहाँ तक $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ ताकि $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ किसी भी स्थिर के विपरीत काफी है।
इसके अलावा, शब्द $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ के लिए अभिव्यक्ति में $(D^u(f^n))(x)$ यहाँ बनाम $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ के लिए अभिव्यक्ति में $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ ऐसा लगता है कि यह बहुत ही संभावना नहीं है कि किसी भी अन्य प्रकार के भिन्न व्युत्पन्न काम करेंगे जैसा आप चाहते हैं।
क्लासिक भिन्नात्मक पूर्णांक के लिए लागू सामान्यीकृत लिबनिज सूत्र है
$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$
कहां है $D_L$ उत्पाद के बाईं ओर फ़ंक्शन पर कार्य करता है और $D_R$सही कार्य पर। देखें, जैसे, लीबनिज नियम और फुगेरे, गैबोरी और ट्रेमब्ले द्वारा एक नए परिवर्तन सूत्र के माध्यम से आंशिक अंश के लिए अभिन्न एनालॉग्स ।
यह सामान्यीकृत लाइबनिज नियम फ्रांसेसी मेनार्डी और गियनी पाग्निनी द्वारा वर्णित "द सॉल्वेटोर पेल्चरल इन डेवलपमेंट ऑफ फ्रैक्टिकल कैलकुलस की भूमिका" में वर्णित पिन्चरल द्वारा दिए गए समझदार स्वयंसिद्धों को पूरा करने वाले फ्रैक्शनल इंटीग्रोग्रैडिव पर लागू होता है - जो सामान्य शक्तियों द्वारा अभिन्न शक्तियों के लिए उठाए गए हैं। नकारात्मक या सकारात्मक। इस सेशन के रिप्स को इस MSE-Q में प्रस्तुत किया गया है और इसका उपयोग कंफ़्लुएंट ( यह MO-Q देखें ) और नियमित हाइपरजोमेट्रिक फ़िक्ट्स को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है ।
के ये प्रतिनिधि $D^{\omega}$अभिन्न के माध्यम से यूलर गामा और बीटा कार्यों की परिभाषाओं के केंद्र में हैं, इंटीग्रल फैक्टरियल के सामान्यीकरण और अभिन्न द्विपद गुणांक ( इस एमओ-क्यू में मेरा जवाब / देखें ), जो कि शोधकर्ता अपने गणित प्रयासों में अक्सर उपयोग करते हैं- -मोटे पर व्यक्त कुछ राय के विपरीत। इस एमओ-क्यू (जो कई उपयोगकर्ता स्पष्ट रूप से फूरियर रूपांतरण द्वारा परिभाषित कुछ छद्म-अंतर ऑपरेटर के साथ भ्रमित करते हैं) में अर्ध-व्युत्पन्न का एक उदाहरण देखें ।