अनुक्रमों की suprema के बारे में प्रमाण सत्यापन
चलो $(a_n)_{n=m}^{\infty}$वास्तविक संख्याओं का एक क्रम हो। चलो$x$ वास्तविक संख्या ऐसी हो $x:=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}=\sup(\{a_n : n\geq m\}$। फिर सभी के लिए$n\geq m$, हमारे पास वह है $a_n\leq x$ और अगर $M\in \mathbb{R}$ ऐसा है कि $M$ के लिए एक ऊपरी सीमा है $a_n$, फिर सभी के लिए $n\geq m$, अपने पास $M\geq a_n$। इसके अलावा, सभी के लिए$y\in \mathbb{R}$ ऐसा है कि $y<x$, वहाँ मौजूद है $n\geq m$ ऐसा है कि $y<a_n\leq x$।
यहाँ एक प्रमाण पर मेरा प्रयास है:
परिभाषा से, $x$ सेट का सर्वोच्च है $\{a_n : n\geq m\}$, जिसका मतलब है कि यह सेट के लिए एक ऊपरी बाध्यता है। तो हर के लिए$n\geq m$, अपने पास $a_n \leq x$। परिभाषा के अनुसार भी, किसी के लिए भी$M$ यह सेट का एक ऊपरी हिस्सा है, $x\leq M$, किसको $a_n \leq x\leq M$इस प्रकार है। अंत में, वर्चस्व की परिभाषा से, हमारे पास वह सबके लिए है$\varepsilon >0$, वहाँ मौजूद है $a_n\in \{a_n : n\geq m\}$ ऐसा है कि $a_n>x-\varepsilon$। तो सेट करें$y=x-\varepsilon <x$ प्राप्त करने के लिए $a_n>y=x-\varepsilon$ और फिर $x\geq a_n >y$ इस प्रकार है।
मैं वास्तविक विश्लेषण का अध्ययन कर रहा हूं, इसलिए मैं केवल यह सुनिश्चित करना चाहता हूं कि मैं सभी सही कदम उठा रहा हूं और यदि मैं इस प्रमाण का सही निर्माण कर रहा हूं।
जवाब
आपका विचार ठीक है लेकिन लेखन में सुधार की आवश्यकता है। तुम्हे दिया गया है$y<x$ इसलिए 'सेट $y=x-\epsilon<x$'कोई मतलब नहीं है। इसके बजाय, आपको कहना चाहिए$\epsilon =x-y$। फिर$\epsilon >0$ इसलिए वहां मौजूद है $n$ ऐसा है कि $a_n >x-\epsilon$। इस परिवर्तन के साथ आपके तर्क ठीक हैं।