आयाम 3 के कॉम्पैक्ट चिकनी कई गुना का वर्गीकरण।

Jan 04 2021

मुझे पता है कि कॉम्पैक्ट आयाम 2 चिकनी कई गुना का वर्गीकरण। वे n "कान" (n tori से जुड़े हुए राशि) या m mobius स्ट्रिप्स (m वास्तविक प्रोजेक्टिव विमानों के जुड़े योग) के साथ एक क्षेत्र में diffeomorphic हैं। मैं केवल यह जानता हूं कि पेरेलमैन द्वारा साबित की गई ज्यामितीय परिकल्पना 3 कई गुना के बारे में कुछ कहती है, लेकिन मुझे आयाम के कॉम्पैक्ट चिकनी कई गुना के लिए सटीक वर्गीकरण के समान नहीं मिल सकता है। क्या कोई similarsimple वर्गीकरण है? यदि हाँ, तो क्या आप इसे लिंक छोड़ सकते हैं या टिप्पणी में लिख सकते हैं?

जवाब

3 MichaelAlbanese Jan 04 2021 at 21:41

यदि कई बार कनेक्टेड योग के लिए होमोमोर्फिक होता है, तो इसे कई गुना प्रधान कहा जाता है ।

आयाम दो में, बंद प्राइम मैनिफोल्ड्स हैं $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, तथा $S^1\times S^1$। सतहों के वर्गीकरण के द्वारा, प्रत्येक बंद दो-आयामी कई गुना प्राइम मैनिफोल्ड्स की एक जुड़ी हुई राशि के लिए होमोमोर्फिक है। ओरिएंटेबल केस में, कनेक्ट किए गए समन अद्वितीय हैं$S^2$ सारांश (आप हमेशा से जोड़ सकते हैं $S^2$बिना कुछ बदले)। गैर-उन्मुख मामले में, अब हमारे पास विशिष्टता नहीं है$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ होमोमोर्फिक है $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$। हालाँकि, यदि कोई व्यक्ति इसके उपयोग को प्रतिबंधित करता है, तो वह विशिष्टता प्राप्त कर सकता है$S^1\times S^1$ सम्मन करता है।

बंद तीन-गुना के लिए एक समान कहानी है। तीन-कई गुना के लिए प्रमुख अपघटन प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक बंद तीन-गुना प्राइम मैनिफोल्ड्स की एक जुड़ी राशि के लिए होमोमोर्फिक है। यदि ओरिएंटेबल केस, कनेक्टेड समन्स अद्वितीय हैं$S^3$सम्मन करता है। अगर$M$ गैर-उन्मुख है, तो विशिष्टता अब नहीं रहती है, हालांकि कोई भी इसके उपयोग को प्रतिबंधित करके विशिष्टता को पुनर्प्राप्त कर सकता है $S^2\times S^1$ कनेक्ट किए गए सारांशों में से एक के रूप में।

आयाम दो और तीन के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि असीम रूप से कई प्रमुख तीन-कई गुना हैं। उन्मुख मामले में, वे तीन श्रेणियों में फिट होते हैं:

  1. उन मैनिफोल्ड्स द्वारा कवर किया गया $S^3$,
  2. कई गुना $S^2\times S^1$, तथा
  3. ओरिएंटेबल एस्फेरिकल मैनिफोल्ड्स।

इन श्रेणियों को मूल समूह के माध्यम से भी चित्रित किया जा सकता है: क्रमशः परिमित, अनंत चक्रीय और अनंत गैर चक्रीय।

गैर-उन्मुख मामले में हालांकि, एक वर्गीकरण को स्वीकार करने के लिए बहुत सारे प्रमुख परिणाम हैं; मेरे इस सवाल का जवाब देखिए ।

आयाम चार में, हमारे पास अब अद्वितीयता नहीं है, यहां तक ​​कि उन्मुख मामले में भी। उदाहरण के लिए,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ होमोमोर्फिक है $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$। इस तथ्य की समानता पर ध्यान दें कि$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ होमोमोर्फिक है $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$