आयाम और एम्बेडिंग के साथ भ्रमित
मैं टोपोलॉजी के लिए नया हूं और इसके लिए अग्रिम में माफी चाहता हूं, शायद, बहुत सरल (या दार्शनिक) सवाल।
मैंने हमेशा एक डोनट के आकार की सतह के रूप में एक टोरस के बारे में सोचा है $\mathbb{R}^3$। हालाँकि, जब मैंने टोपोलॉजी का अध्ययन शुरू किया, तो मुझे पता चला कि टॉरस है$S^1 \times S^1$ और यह स्वाभाविक रूप से में परिभाषित किया गया है $\mathbb{R}^4$। लेकिन एक ही समय में, जैसा कि मैंने समझा, एक टोरस का लोकप्रिय 3 डी प्रतिनिधित्व एक एम्बेडिंग है$\mathbb{R}^3$, इसलिए, एम्बेडिंग की परिभाषा से, प्राकृतिक 4 डी टोरस आसानी से देखे जाने वाले 3 डी टोरस के लिए होमोमोर्फिक है।
जब हम एक टॉरस बनाने के लिए एक वर्ग (पक्षों की पहचान करके) की भागफल लेते हैं, तो क्या हम खुद को इस कल्पना में धोखा नहीं दे रहे हैं $\mathbb{R}^3$, क्योंकि हम सिर्फ एक असली 4d टोरस के कुछ "स्लाइस" प्राप्त करते हैं। हो सकता है कि मैंने अपने प्रश्न का उत्तर यहाँ दिया हो, जिसमें कहा गया है कि एम्बेडिंग एक होमियोमॉर्फिज़्म है, लेकिन मैं अभी भी समझना चाहता हूं कि आयाम, एम्बेडिंग और होमोओर्फिज़्म के बीच क्या संबंध हैं ।
टोरस 2-आयामी है, क्योंकि 2 अंक इसे परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं (प्रत्येक के लिए एक बिंदु $S^1$), लेकिन प्रत्येक सर्कल स्वाभाविक रूप से प्रस्तुत किया जाता है $\mathbb{R}^2$, इस प्रकार हमें आवश्यकता है $\mathbb{R}^4$।
जब हम टोरस से "प्रोजेक्ट" करते हैं तो क्या हम "सूचना" खो रहे हैं $\mathbb{R}^4$ सेवा $\mathbb{R}^3$? क्या यह केवल दृश्य हानि है या सामयिक भी है?
मैं 3-गेंद को अंदर लेने की कल्पना कर सकता हूं $\mathbb{R^3}$ और 2-बॉल (डिस्क) में इसे "सिकोड़ना" $\mathbb{R}^2$ द्वारा $z \to 0$। इससे संक्रमण के दौरान$\mathbb{R}^3$ सेवा $\mathbb{R}^2$ हमने स्पष्ट रूप से दृश्य और सामयिक दोनों जानकारी खो दी (n- बॉल होमोमोर्फिक टू m-ball है $\iff$ n = m)।
क्या होमियोमॉर्फिज़्म "आंतरिक" आयाम को संरक्षित करता है, लेकिन बाहरी (बाहरी) स्थान के बारे में "परवाह" नहीं करता है?
जवाब
मैं वास्तव में 'प्राकृतिक' टोरस को नहीं देखता हूं $S^1 \times S^1$ धरना दे रहा है $\mathbb{R}^4$। टोरस को देखने के कई समतुल्य (पढ़ें: होमियोमॉर्फिक) तरीके हैं, जिनमें से एक परिचित 'डोनट' चित्र है। दो अन्य के रूप में होगा$S^1 \times S^1$ धरना दे रहा है $\mathbb{R}^4$, या वर्ग के भागफल के रूप में, जैसा आपने संकेत दिया।
लब्बोलुआब यह है कि एक गणितज्ञ के लिए, टोरस अपने आप में एक वस्तु है । चाहे वहाँ एक परिवेश यूक्लिडियन स्थान मौजूद है जिसमें आप इसे एम्बेड कर सकते हैं कुछ अर्थ में अप्रासंगिक है। यह 'ओपन सब्मिट्स' के संग्रह के साथ सिर्फ अंकों का एक सेट है जो इसके आकार को परिभाषित करता है।
अपने सवालों पर आने के लिए: एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया (उदाहरण के लिए, स्पेस $X$जो वर्ग के भागफल को अवचेतन टोपोलॉजी ले जाने वाले विपरीत पक्षों की पहचान करके) है, हम इसे यूक्लिडियन स्पेस में एम्बेड करके कल्पना करने की कोशिश कर सकते हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस की एक एम्बेडिंग$X$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $\mathbb{R}^n$ सिर्फ एक नक्शा है $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ ऐसा है कि $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ एक घरवाद है।
तो, यह पता चला है कि $X$ में एम्बेड किया जा सकता है $\mathbb{R}^3$, लेकिन में भी $\mathbb{R}^4$। इनको 'अहसास' की तरह समझें$X$कुछ बड़े परिवेश में। ये दोनों अहसास होमियोमॉर्फिक टू हैं$X$(डुह, एक एम्बेडिंग की परिभाषा के अनुसार), इसलिए वे एक-दूसरे के होमोमोर्फिक भी हैं। इस प्रकार, कोई जानकारी नहीं खो जाती है।
टोरस की 'डोनट' तस्वीर को अहसास के अनुमानित संस्करण के रूप में सोचना सही नहीं है $\mathbb{R}^4$। कोई प्रक्षेपण नहीं हो रहा है (जैसे जब आप 3 डी में एक ऊर्ध्वाधर सिलेंडर को क्षैतिज विमान में एक सर्कल स्लाइस पर प्रोजेक्ट करते हैं)। डोनट 4 डी आकार का 3 डी टुकड़ा नहीं है, यह उसी आकार का है ।
आप यह कहने के लिए सही हैं कि टोरस का आयाम क्या है $2$। यह आयाम परिवेशी स्थान से भी स्वतंत्र है। इसलिए होमियोमॉर्फिज़्म इस आयाम को संरक्षित करता है, और बाहरी आयाम की परवाह नहीं करता है। यहाँ एक कैविएट का एक सा है: यह परिभाषित करना बहुत कठिन है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए 'आयाम' का क्या मतलब है, इसलिए यह साबित करना कि टोरस का आयाम 2 कठिन है।