बाहरी वक्रता के लिए अभिव्यक्ति

Aug 16 2020

पद्मनाभन की पुस्तक ग्रैविटेशन फ़ाउंडेशन एंड फ्रंटियर्स में, निम्नलिखित समीकरण एक हाइपरसर्फर के बाहरी वक्रता के संबंध में धारा 12.2 में पाया जा सकता है (उस पुस्तक में केवल समीकरण 12.19 से ऊपर देखें),

\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}

पुस्तक के सम्मेलन के अनुसार स्थानिक निर्देशांक के लिए ग्रीक सूचकांकों को चलाया जाता है ($\alpha=1,2,3$) और लातिन सूचकांक अंतरिक्ष-समय के निर्देशांक के लिए चलते हैं ($a=0,1,2,3$) है। इस प्रकार उपरोक्त समीकरण बाह्य वक्रता के स्थानिक घटकों के लिए एक अभिव्यक्ति देता है,$K_{\alpha\beta}$। यहाँ,$n^a$ हाइपरसुरफेस के लिए वेक्टर क्षेत्र सामान्य है और $N$चूक कार्य है। अब पुस्तक का दावा है कि यदि हम क्रिस्टोफेल प्रतीक का विस्तार करते हैं, तो हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलेगी (पुस्तक में समीकरण 12.19 देखें)

$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$

यहाँ, $N^\alpha$ शिफ्ट वेक्टर है, $h_{\alpha\beta}$ हाइपरसुरफेस पर प्रेरित स्थानिक मीट्रिक है, और $D_m$ विशुद्ध रूप से स्थानिक वैक्टर पर अपनी कार्रवाई के साथ हाइपोसर्फ़ पर आंतरिक सहसंयोजक व्युत्पन्न है $X_s$, जो एक बाधा की तरह संतुष्ट करता है $X_sn^s=0$, के रूप में परिभाषित किया गया है

$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$

कहाँ पे, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ हाइपरसुरफेस पर प्रोजेक्शन टेन्सर हैं, और $\nabla_a$ सामान्य जीवनकाल के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न है।

मैं अभिव्यक्ति देने के लिए समीकरण 12.19 प्राप्त करने में विफल रहा हूं $K_{\alpha\beta}$। नीचे मैं दिखाता हूं, मैंने इसे कैसे करने की कोशिश की। क्रिस्टोफेल प्रतीक के रूप में विस्तारित किया जा सकता है,\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} उपरोक्त में, मैंने उन तथ्यों का उपयोग किया है जो, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$

जवाब

1 VacuuM Aug 22 2020 at 13:04

ओपी की गणना ठीक लगती है। यदि हम उस रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं तो आवश्यक अभिव्यक्ति आसानी से प्राप्त की जा सकती है। सबसे पहले, मैं ध्यान दें कि,$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$शायद यह प्रतिस्थापन है जो ओपी की गणना में भ्रमित था। यदि हम इसे सही करते हैं तो यह निम्न है,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} इसलिए, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$