बुनियादी होमोटॉपी प्रश्न
मैं यवेस फेलिक्स, स्टीफन हैपरिन, जे.एन.डी. थॉमस और मेरे पास बहुत शुरुआत के बारे में एक त्वरित सवाल है (जो केवल अंतरिक्ष में बुनियादी होमोटॉपी सिद्धांत की चिंता करता है और तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत भी नहीं)। पुस्तक "व्हाइटहेड की भारोत्तोलन लेम्मा" के रूप में संदर्भित एक परिणाम को लेम्मा 1.5 (पृष्ठ 12) के रूप में प्रमाणित करती है।
मान लीजिए कि (आवश्यक रूप से कम्यूटेटिव नहीं) आरेख: \ start {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ x और \ xrightarrow {\ psi} & Z , एक अंत के साथ एक अंत के साथ, \ "{सरणी}$H: A \times I \rightarrow Z$ से $\psi i$ सेवा मेरे $f\varphi$।
मान लीजिये $(X,A)$ एक रिश्तेदार सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स है और $f$एक कमजोर समरूपता समतुल्यता है। फिर$\varphi$ तथा $H$ एक नक्शे में क्रमशः बढ़ाया जा सकता है $\Phi: X \rightarrow Y$ और एक होमोटोपी $K: X \times I: \rightarrow Z$ से $\psi$ सेवा मेरे $f \Phi$।
फिर कुछ कोरोलरीज के साथ पुस्तक जारी है, और मेरा प्रश्न है: निम्नलिखित कथन व्हाइटहेड की भारोत्तोलन लेम्मा की एक कोरोलरी कैसे है?
अगर $(X, A)$ एक रिश्तेदार सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स है और $A$ सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स का होमोटोपी प्रकार है, फिर $X$ सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स का होमोटोपी प्रकार है।
मुझे लगता है कि मैं सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स का निर्माण करके इस परिणाम को साबित करने का प्रबंधन कर सकता था $\tilde{X}$ से $\tilde{A}$ (के बराबर एक जटिल $A$) से संलग्न मानचित्रों का उपयोग करके ग्लूइंग कोशिकाओं द्वारा $(X, A)$, और प्रत्येक कंकाल में पुशआउट स्क्वायर के साथ पुशआउट्स में समतुल्यता के संरक्षण के परिणाम के रूप में (यह एक होमोटॉपी समकक्ष का उपयोग करता है। ), लेकिन मैं यह नहीं देखता कि ऊपर दिए गए लेम्मा का उपयोग कैसे किया जाता है, और परिणाम में मुझे पुशआउट्स और समकक्षों की आवश्यकता होगी। मुझे लगता है कि पुस्तक में बाद में दिखाई देता है।
किसी भी जानकारी का स्वागत है, जयकार!
जवाब
लश्कर $A$ एक सीडब्ल्यू परिसर और हो $X$ प्राप्त हुआ $A$कोशिकाओं को जोड़कर। लिखना$i:A\hookrightarrow X$ समावेश के लिए।
शुरू करने के लिए $p:\widetilde X\rightarrow X$एक CW सन्निकटन (उर्फ सेलुलर मॉडल, देखें Th.1.4)। जबसे$A$ एक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स कमजोर तुल्यता है $p$ एक आक्षेप करता है $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(देखें Co.1.6)। इस प्रकार एक नक्शा है$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ एक साथ एक होमोटॉपी के साथ $H:p\widetilde i\simeq i$। अब आरेख पर विचार करना शुरू करें {शुरू} सरणी} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ x & xrightarrow {=} & X। \ अंत {सरणी} लेम्मा 1.5 की धारणाएं संतुष्ट हैं, इसलिए एक नक्शा है$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ ऐसा है कि $\varphi i=\widetilde i$ तथा $p\varphi\simeq id_X$। इस प्रकार$X$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का एक (होमोटोपी) वापस लेना है $\widetilde X$, और यह इस से तुरंत बाद है $X$ सीडब्ल्यू होमोटोपी प्रकार है।
अब कहा गया सामान्यता में अंतिम तथ्य सही है, लेकिन हम वर्तमान स्थिति के लिए अधिक सटीक कथन स्थापित करेंगे: हम यह दिखाएंगे $X$ समरूप समरूप है $\widetilde X$ जैसा सोचा था।
इस नोटिस के लिए कि $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ लेता है $\varphi p$ सेवा मेरे $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$। लेकिन क्योंकि$p$ एक कमजोर समतुल्य है प्रेरित नक्शा जीवनी है, इसलिए समीकरण $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ इसका आशय है $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$। इस प्रकार हमारा दावा है।