चलो $\alpha$ की जड़ हो $(x^2-a)$ तथा $\beta$ की जड़ हो $(x^2-b)$। पर शर्तें प्रदान करें $a$ तथा $b$ रखने के लिए $F=K(\alpha+\beta)$।
प्रश्न: दो$K$ विभिन्न विशेषताओं का एक क्षेत्र हो 2. चलो $F$ के लिए एक विभाजन क्षेत्र हो $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$। चलो$\alpha$ की जड़ हो $(x^2-a)$ तथा $\beta$ की जड़ हो $(x^2-b)$। पर शर्तें प्रदान करें$a$ तथा $b$ रखने के लिए $F=K(\alpha+\beta)$।
मेरा दृष्टिकोण:
चलो $\alpha=\sqrt{a}$, $\beta=\sqrt{b}$ तथा $\gamma=\alpha+\beta$। सबसे पहले, हमारे पास है$F=K(\alpha, \beta)$विभाजन क्षेत्र की परिभाषा के कारण। परिभाषित करना$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$।
आइए दिखाते हैं $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$:
- से $\gamma=\alpha+\beta$ उसके बाद \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
- अब हम वह दिखाने जा रहे हैं $\sqrt{b}\in K(\gamma)$
वास्तव में, दोनों पक्षों को गुणा करना $(*)$ द्वारा द्वारा $\sqrt{b}$ अपने पास:
$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$। फिर$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$
- सिमिलरली, $\sqrt{a}\in K(\gamma)$, ये है
$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$, तब फिर
$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$
मेरा विवरण: मुझे लगता है कि कोई भी स्थिति नहीं है$a$ तथा $b$ ऐसा है कि $\alpha=\sqrt{a}$ तथा $\beta=\sqrt{b}$, हालांकि मुझे यकीन नहीं है। और मैं नहीं जानता कि इसे हाइपोटिस के साथ कैसे जोड़ा जाए$K$दो की विशेषता अलग है। क्या आप मेरी मदद कर सकते हैं?
जवाब
एक बार जब आप जानते हैं कि $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, आधार के साथ $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$, आप इस प्रकार आगे बढ़ सकते हैं: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ मैट्रिक्स निर्धारक है $4(b-a)$ और इसलिए उलटा iff है $a\ne b$ की विशेषता के बाद से $K$ नहीं है $2$। इसलिए,$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ एक आधार भी है और इसलिए एक ही स्थान उत्पन्न करता है, वह है, $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$।
निचला रेखा: मुख्य शर्त यह है कि $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, या समकक्ष रूप से, $\beta \not\in K( \alpha)$।
यह दृष्टिकोण विशेषता में काम नहीं करता है $2$ इसलिये $[K(\gamma):K]\le 2$ जबसे $\gamma^2 = a+b \in K$।
हम मानते हैं कि $x^2-a,x^2-b$ इस पर बेअदबी कर रहे हैं $K$ तथा $b\ne a$, अन्यथा समस्या तुच्छ है।
अगर $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$फिर दिखाओ$\sqrt{a}+\sqrt{b}$4 अलग संयुग्म हैं (यही वह जगह है जहाँ हम उपयोग करते हैं$char(K)\ne 2$) जिसका तात्पर्य है $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$।
अगर $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ तब फिर $v\ne 0$ तोह फिर $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ का तात्पर्य $u=0$। जबसे$b\ne a$ तब फिर $v\ne \pm 1$ और इसलिए $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$।