डार्बौक्स प्रमेय के बारे में
मैंने जो सीखा है वह कहता है कि डार्बौक्स प्रमेय का उपयोग फ़ंक्शन को साबित करने के लिए किया जा सकता है जो निरंतर नहीं है यह मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के साथ भी सच हो सकता है। क्या वह सही है? लेकिन जब हम इस प्रमेय को सिद्ध करते हैं तो हम उस विषय पर बात क्यों नहीं करते हैं? क्या यह महत्वपूर्ण नहीं है? कृपया जवाब दें ..... ps मुझे खेद है कि मैं अंग्रेजी में अच्छा नहीं हूं ... और मैं कोरिया में हाईस्कूल का छात्र हूं। क्या आप दूसरों की तुलना में अधिक आसान समझा सकते हैं?
जवाब
किसी भिन्न कार्य पर विचार करें $f(x)$।
तो, विशेष मामले में जहां $f(x)$ लगातार भिन्न है, तो निश्चित रूप से व्युत्पन्न $f'(x)$है। निरंतर, और इसलिए, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (आईवीटी) द्वारा, यह सीमा के बीच सभी मूल्यों को प्राप्त करेगा। पुनरावृत्ति करने के लिए, इस विशेष मामले में जहां हमारा कार्य लगातार भिन्न होता है , हां डार्बौक्स का प्रमेय केवल सामान्य आईवीटी है।
अब, अधिक सामान्य मामले में, जहां की निरंतरता है $f'(x)$गारंटी नहीं है, हम अपने सामान्य IVT को लागू नहीं कर सकते। लेकिन क्योंकि$f(x)$अलग है, हम अभी भी डार्बौक्स के प्रमेय को लागू कर सकते हैं, जो हमें लागू करता है कि अगर यह लागू होता है तो आईवीटी ने क्या दिया होगा। निश्चित रूप से अंतर यह है कि आईवीटी के प्रमाण ने काम नहीं किया होगा क्योंकि यह परिकल्पना संतुष्ट नहीं थी, लेकिन डार्बौक्स का प्रमाण काम करता है क्योंकि इसमें आईवीटी से अलग आवश्यकताएं हैं।
अंत में, संक्षेप में बताएं, यदि आपके पास कोई फ़ंक्शन है, और यह जान लें कि यह किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो आपके पास IVT का परिणाम हो सकता है, भले ही यह फ़ंक्शन स्वयं निरंतर न हो, डार्बोक्स के लिए धन्यवाद। बेशक, यदि फ़ंक्शन निरंतर है, तो आप सीधे आईवीटी का उपयोग नहीं कर सकते हैं कि यह फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है या नहीं।
PS अतिरेक के लिए मेरी क्षमा याचना, लेकिन मैं यह सुनिश्चित करना चाहता था कि मुझे भाषा की खाई मिल जाए।