डेल्टा डेल्टा वितरण के विपरीत

Question

बहुभिन्नरूपी डायरैक डेल्टा वितरण - अधिक या कम सहज रूप से - के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

कहाँ पे

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

क्या इसका एक "विपरीत" है, जिसे व्यक्त किया जा सकता है

\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

कहाँ भी

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

?

क्या इस वितरण और / या प्रतीक का कोई नाम है?

संदर्भ के लिए: मैं उन्हें संकल्पों में उपयोग करने की योजना बना रहा हूं और मैं उन्हें संभाव्यता घनत्व के रूप में मान रहा हूं।

Answer 1

दोनों की सीमा $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$वितरण की पूरी तरह से कठोर परिभाषाएँ हैं, पहला वितरण के अर्थ में परिवर्तित होता है$\delta$ और दूसरा वाला $0$।