डीएफटी के संदर्भ में, एक डबल साइडेड फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम (पॉजिटिव / नेगेटिव साइड) में Nyquist फ्रिक्वेंसी सैंपल बेलोंग कहाँ है?

Question

यदि हमारे पास डेटा बिंदुओं की संख्या समान है $N$, MATLAB में DFT के बाद, आउटपुट का क्रम है:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

वास्तविक संकेतों के लिए, इसी से संबंधित पहला आउटपुट $k$= 0, वास्तविक है और इसलिए Nyquist आवृत्ति है। उसके बाद नंबर जटिल संयुग्म होते हैं।

यदि हम एक तरफा स्पेक्ट्रम में रुचि रखते हैं, तो Nyquist आवृत्ति को सकारात्मक पक्ष पर दिखाया गया है।

हालांकि, जब दो तरफा आवृत्ति स्पेक्ट्रम की साजिश रची जाती है, तो कई लेखक नकारात्मक पक्ष पर Nyquist आवृत्ति डालते हैं।

कुछ सॉफ्टवेयर जैसे ओरिजिनप्रो, इसके विपरीत का पालन करते हैं। क्या कोई मौलिक रूप से सही तरीका है या यह सिर्फ एक सम्मेलन है,

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

वैकल्पिक रूप से, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

कहां है $k$ डीएफटी इंडेक्स वेक्टर है, जिसका उपयोग आवृत्ति अक्ष के निर्माण के लिए किया जाता है

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

कहां है $\Delta t$ नमूना अंतराल है।

कई लोग कहते हैं कि यह सिर्फ एक सम्मेलन है और दोनों सही हैं। धन्यवाद।

Answer 1

यह सम्मेलन है, वे समकक्ष हैं:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB और Numpy जाओ $[-N/2, ..., N/2-1]$, जो विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन (केवल freqs) के लिए दुर्भाग्यपूर्ण है। ध्यान दें कि इसका मूल्य अन्य डिब्बे के सापेक्ष दोगुना है (लेकिन मैन्युअल रूप से नहीं; वे इस तरह से सहसंबंधित हैं), इसलिए एक मायने में यह नकारात्मक और सकारात्मक आवृत्ति दोनों है, इसलिए ऊर्जा संरक्षित है:

आप fftshift डॉक्स द्वारा लाइब्रेरी की वरीयता बता सकते हैं :

Answer 2

मान लेना $x[n]$ वास्तविक है, जिसके परिणामस्वरूप $X[k]$किया जा रहा है "Hermitian सममित" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

और अगर $N$ भी है, तो डीएफटी बिन में मूल्य $X[\tfrac{N}{2}]$(जो शून्य काल्पनिक भाग के साथ एक वास्तविक मात्रा है) को दो समान हिस्सों में विभाजित किया जाना चाहिए। एक आधा पर रखा जाना चाहिए$k=-\tfrac{N}{2}$ और दूसरे आधे पर रखा गया $k=+\tfrac{N}{2}$।

यह पिछला उत्तर इससे संबंधित है।