दो बार सशर्त संभावना लागू करें

Question

कुल संभावना के कानून से, मुझे पता है कि $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$। उसी तर्क को लागू करते हुए, मैं यही कहना चाहूंगा$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ हालाँकि, मुझे पता है कि यह निष्कर्ष गलत है क्योंकि जब आप संभावनाओं का विस्तार करते हैं - LHS RHS से मेल नहीं खाता है।

मैं कैसे ठीक से विस्तार कर सकता था $P(A|B)$ एक अन्य घटना पर कंडीशनिंग द्वारा, कहते हैं $C$?

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$