दो सेटों के बीच Möbius रूपांतरण [डुप्लिकेट]

Dec 14 2020

मुझे Möbius परिवर्तन (जो मौजूद है, मुझे लगता है) के निर्माण में मदद चाहिए, जो डोमेन को मैप करता है $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ पर है $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$

जवाब

J.G. Dec 14 2020 at 18:48

@MartinR और @Vercassivelaunos दोनों ने संक्षिप्त ज्यामितीय स्पष्टीकरण दिया है कि ऐसा कोई परिवर्तन क्यों नहीं है। यह परिवहनीय है कि यह कठिन रास्ता है, जो उन लोगों के लिए अपरिचित है जो सर्कुलर -to-circline परिणाम के साथ अपरिचित हैं ।

के रूप में पहले सेट को परिमाणित करें $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ साथ से $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$। अगर$\frac{az+b}{cz+d}$ नौकरी करता है,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$इस तरह के सभी के लिए सकारात्मक वास्तविक हिस्सा है $r,\,t$। समान रूप से, हमें जरूरत है$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$सबके लिए $t$, जो स्पष्ट रूप से काम नहीं करता है।