दो विमानों के चौराहे के बीच एक बिंदु खोजना

Question

विमानों के दो चौराहों के बीच एक लाइन खोजने की कवायद करते समय, हमें लाइन के एक बिंदु और दिशा वेक्टर को खोजने की आवश्यकता होती है। दिशा वेक्टर आसान है क्योंकि यह दोनों मानदंडों के लिए लंबवत है, लेकिन मैं इस बात को लेकर उलझन में हूं कि मैं कैसे बात करूं।

मान लीजिए, हमें दो विमानों के समीकरण दिए जाने थे,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

तथा,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

चौराहे की रेखा के साथ एक बिंदु खोजने के लिए, अक्सर निर्देशांक में से एक को शून्य के रूप में रखने का निर्देश दिया जाता है, कहते हैं $x, y$ या $z$और फिर शेष निर्देशांक के लिए हल करें। लेकिन, मुझे यकीन नहीं है कि हम ऐसा क्यों करते हैं, जैसा कि, हम कैसे जानते हैं कि दो लाइनों के बीच के चौराहे के बीच की रेखा हमेशा होती होगी$x$ , $y$ तथा $z$ इंटरसेप्ट्स?

मैंने देखा कि इस पोस्ट लेकिन यह मेरी क्वेरी संबोधित नहीं सोचा था और न उस में संबोधित किया गया था यह एक

Answer 1

मान लो कि $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$। तो आप इस समस्या को निम्नानुसार सुधार सकते हैं:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ और के लिए हल $x$ तथा $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ इससे पता चलता है कि किसी के लिए भी $z=t\in{\Bbb R}$ आप के लिए एक अनूठा समाधान मिलता है $x$ तथा $y$। यहाँ क्या होता है कि दो विमानों का चौराहा$P_1,P_2$ विमान के साथ $z-t=0$ (गैर शून्य एबी निर्धारक के कारण) दो गैर-समानांतर रेखाएं प्रदान करता है $x-y$विमान। इन दो पंक्तियों में एक अद्वितीय चौराहा बिंदु है।

अब, जब आपके एबी निर्धारक ऊपर शून्य है (तो आपकी दो पंक्तियाँ $x-y$ विमान समानांतर हैं) तो आप एक गैर-शून्य की तलाश कर सकते हैं $B-C$ मैट्रिक्स (और के लिए हल $y,z$) या एक गैर-शून्य $C-A$ मैट्रिक्स (और के लिए हल $z,x$) है। यदि ये सभी निर्धारक शून्य हैं तो आपके दो मूल विमान वास्तव में समानांतर हैं इसलिए या तो चौराहा खाली है या यह एक विमान है।

ध्यान दें कि आपके द्वारा गणना किए जाने वाले तीन निर्धारक वास्तव में विमानों के लिए सामान्य वैक्टर के क्रॉस-उत्पाद के घटक हैं, इसलिए क्रॉस-उत्पाद गैर-लुप्त हो रहा है वास्तव में चौराहे के लिए एक लाइन होना एक शर्त है।

Answer 2

कोई भी ऐसा मानकर ऐसे प्रश्नों को हल कर सकता है $(x,y,z)$शून्य होना, या एक को स्थिर रखना। उनमें से किसी एक को शून्य रखने के पीछे का अंतर्ज्ञान यह है कि हमें मिलने वाली अधिकांश रेखाएं एक समतल के समानांतर नहीं होती हैं, इसलिए उन्हें निश्चित रूप से प्रतिच्छेद करना चाहिए।

जब ऐसा नहीं होता है, तो चर को शून्य रखने से असमान युग्म की रैखिक समीकरण बनेंगे।