एक अलग हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर एक बंधे ऑपरेटर के eigenvalues ​​का सेट गणनीय है?

Question

एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम अक्सर अगणनीय है, लेकिन कृपया ध्यान दें कि प्रश्न को संदर्भित करता है eigenvalues ।

यह स्व-सहायक ऑपरेटरों के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि परिणाम उस मामले से परे कैसे फैलता है।

यही सवाल अलग करने योग्य स्थान के लिए भी मायने रखता है।

Answer 1

यही प्रश्न यहाँ पर mathoverflow पर पूछा और उत्तर दिया गया है । पीछे की ओर शिफ्ट ऑपरेटर$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ द्वारा परिभाषित $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$नौकरी करता है। हर एक के लिए$\lambda \in \mathbb{C}$ साथ में $|\lambda|<1$, ज्यामितीय अनुक्रम $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ वर्ग-पूर्ण और संतुष्ट है $T v = \lambda v$।