एक अंतर समीकरण के साथ सादृश्य द्वारा पुनरावृत्ति को हल करना
मुझे यह समस्या आई:
अनुक्रम दें $u_n$ अपने पहले कार्यकाल द्वारा परिभाषित किया जाएगा $u_0 > 0$ तथा $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ के लिए एक विषम सूत्र का पता लगाएं $u_n$।
मैंने सोचा था कि हम इसे समीकरण के साथ सादृश्य द्वारा हल कर सकते हैं $$f' = \frac{1}{f}$$ जो कि स्पर्शोन्मुख सूत्र देता है $u_n \sim \sqrt{2 n}$, और यह वास्तव में सही उत्तर है।
अधिक आम तौर पर, क्या हम लेते हैं $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, एक निरंतर, सकारात्मक, घटते कार्य पर स्थितियां क्या होंगी $f$ ऐसा है कि विभेदक समीकरण के साथ सादृश्य की विधि सही असममित सूत्र देती है?
आपका बहुत बहुत धन्यवाद !
जवाब
जैसा कि नीचे टिप्पणी में कहा गया है, यह उत्तर गलत है
मान लो कि $y$ विभेदक समीकरण का हल है $y' = f(y)$, तथा $u_n$ पुनरावृत्ति को हल करता है $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ साथ में $u_0 = y(0)$। औसत मूल्य प्रमेय से, हम पाते हैं कि सभी के लिए$n$, वहाँ मौजूद है $c \in [n,n+1]$ जिसके लिए $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ चूंकि $f$ घट रहा है, हमारे पास है $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ अब, मान लीजिए कि $w_n$ संतुष्ट $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, तथा $w_0 = y(1)$। हम भावपूर्ण पाते हैं$u_n \leq y(n) \leq w_n$। विशेष रूप से, हम कहते हैं कि यदि असमानता पकड़ में आती है$n = k$, फिर $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ और असमानता $y(k+1) \geq u_{k+1}$ इसी तरह देखा जा सकता है।
उस के साथ, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि $f$ ऐसा है कि पुनरावृत्ति $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ सभी के लिए एक ही स्पर्शोन्मुख है $u_0 > 0$, तो यह इस प्रकार है कि अनुक्रम के स्पर्शोन्मुख $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ से हल करने के लिए उत्पन्न $y' = f(y)$ साथ में $y(0) > 0$ समान हैं।