एक अनुक्रम के अभिसरण दिए गए श्रृंखला के अभिसरण दिखा रहा है
मैं एक समस्या पर काम कर रहा हूं जो मुझे निम्नलिखित दिखाने के लिए कहती है: वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम को देखते हुए, $(x_n), n=0,1,2,...$ ऐसा है कि $x_n \rightarrow x$, वो दिखाओ $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ मेरा दृष्टिकोण इस तरह की कोशिश करना है और इसे इसी तरह साबित करना है कि हम ज्यामितीय श्रृंखला के फार्मूले को कैसे साबित करते हैं (जो कि सरल होगा $(x_n)$एक निरंतर अनुक्रम थे)। इसलिए उपरोक्त श्रृंखला के आंशिक योगों को देखते हुए, हम देखते हैं कि:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ यहाँ से मैं काफी जाने नहीं दे सकता $p\rightarrow 1^{-}$अभी तक, अन्यथा सब कुछ रद्द हो जाएगा। इसलिए मैं इस तथ्य का उपयोग करना चाहता हूं कि$x_n$ के लिए अभिसरण करता है $x$, और मुझे संदेह है कि मुझे इस तथ्य का उपयोग करना होगा कि कब से $x_n \rightarrow x$, को $(x_m - x_{m-1})$ पद जा रहे हैं $0$ बड़े के लिए $m$। हालाँकि, मैं अभी भी नहीं जानता कि योग में प्रारंभिक शर्तों से कैसे निपटना है$(x_m - x_{m-1})$ शर्तें नगण्य नहीं हैं।
जवाब
$\epsilon>0$:
हम यह दिखाना चाहते हैं कि वहाँ मौजूद है $\delta$ जिसके लिए यदि $p\in\left(1-\delta,1\right)$ तब फिर $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$। हम जानते हैं कि x_n x में परिवर्तित होता है, इसलिए एक ऐसा N मौजूद है जो n> N के लिए हमारे पास है:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$। हम यह भी जानते हैं कि:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$। दूसरे भाग को देखने दें:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
तो हमारे पास: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
लेकिन पी के लिए जो 1 के करीब है, पहला भाग शून्य पर जाता है और दूसरा भाग एक्स माइनस एप्सिलॉन में जाता है। तो आप सही डेल्टा के लिए दिखा सकते हैं जो आपको आवश्यक है। ऊपरी बाउंड को बहुत समान तरीके से दिखाया जा सकता है।
मुझे उम्मीद है कि यह समझ में आएगा