एक झूठ समूह में पहचान का एक खुला पड़ोस पूरे इंट समूह को क्यों उत्पन्न करता है, इसके लिए अंतर्ज्ञान
एक जुड़े हुए झूठ समूह में पहचान का एक खुला पड़ोस पूरे समूह को उत्पन्न करता है।
संपादित करें: मुझे लगता है कि इसके लिए मानक प्रमाण यह दिखा रहा है कि किसी भी खुले पड़ोस द्वारा उत्पन्न उपसमूह एक खुला और बंद उपसमूह दोनों है $G$ और इस प्रकार सभी का है $G$ जबसे $G$जुड़ा हुआ है। क्या कोई मुझे समझा सकता है कि इस परिणाम को सच होने के बारे में अधिक वैचारिक स्पष्टीकरण क्यों दिया जाए?
जवाब
मुझे एक वैकल्पिक प्रमाण प्रस्तुत करें, जो मुझे अधिक सहज लगता है - उम्मीद है कि यह आपकी मदद करेगा। प्रमाण अपने आप स्पष्ट होना चाहिए, लेकिन मैं अंत में एक विस्तृत अंतर्ज्ञान स्पष्टीकरण जोड़ दूँगा।
एक जुड़ा हुआ झूठ समूह पथ जुड़ा हुआ है।
लश्कर $U$अपने पड़ोस में रहो। तक ले रहा है$U\cap U^{-1}$, हम यह मान सकते हैं $U$ सममित है।
लश्कर $\gamma : [0,1]\to G$ से एक रास्ता हो $e$ किसी भी तत्व के लिए $x$; और हर के लिए$t\in[0,1]$, जाने दो $U_t$ एक छोटा सा खुला अंतराल हो $[0,1]$ युक्त $t$ ऐसा है कि $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$। यह निश्चित रूप से संभव है, जैसा कि$\gamma(t)U$ का एक पड़ोस है $\gamma(t)$।
फिर $\bigcup_t U_t = [0,1]$ इसलिए कॉम्पैक्टनेस द्वारा, वहाँ हैं $0<t_1<...<t_n<1$ ऐसा है कि $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$।
लेकिन तब (साथ) $t_0=0,t_{n+1}=1$), प्रत्येक के लिए $i$, $U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ कुछ तत्व होने चाहिए $s_i$ (यह है क्योंकि $[0,1]$ जुड़ा हुआ है, और मैंने अंतराल चुना है)।
फिर $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$।
$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$, और इसी तरह, $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$।
इसलिए $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$। निश्चित रूप से हम इसके बाद इसमें शामिल हो सकते हैं$n$ और वह प्राप्त करें $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$, लेकिन यह स्पष्ट है: $x\in \langle U\rangle$।
अब इस प्रमाण के पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि यदि आप एक रास्ता बनाते हैं$e$ सेवा $x$, हर छोटे पर्याप्त मूल्य के लिए $\epsilon$, $\gamma(t)$ तथा $\gamma(t+\epsilon)$ केवल कुछ में अलग होगा $U$ (या $U^{-1}$)।
लेकिन के कॉम्पैक्टनेस द्वारा $[0,1]$का आवश्यक मूल्य $\epsilon$ किसी तरह नीचे बँधा हुआ है (इसलिए हमें अपना विभाजन मिलता है $t_1<...<t_n$), और यह हमें रहने के दौरान बड़े कूदने की अनुमति देता है $U$, और इसलिए, अंततः, द्वारा उत्पन्न उपसमूह में रहना $U$ अगर हम सिर्फ छलांग लगाते हैं।
यह कैसे से संबंधित है $G$ एक "समान" स्थान है: दो तत्वों के बीच के अंतराल को बीच के अंतराल के रूप में देखा जा सकता है $e$और कुछ अन्य तत्व; इसलिए यह स्थानीय प्रश्नों को बहुत सारे प्रश्नों को कम करने की अनुमति देता है$e$