एक क्रमपरिवर्तन कार्रवाई की ब्रेडन कोओमोलॉजी $S^3$
मैंने इसी तरह के सवालों के एक जोड़े को यहां और यहां ब्रेडन कॉहोमोलॉजी की गणना को सत्यापित करने के लिए कहा है , इसलिए मैं खुद से एक प्रश्न पूछूंगा।
चलो $\mathbb{Z}/2$ पर कार्यवाही $S^3\subset \mathbb{C}^2$ पर एक क्रमपरिवर्तन कार्रवाई का प्रतिबंध $\mathbb{C}^2.$ मैं ब्रेडन कोहोमोलॉजी की गणना करना चाहता था $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$
मेरे पास एक कोशिका अपघटन है जो जटिल के अपघटन पर आधारित है $1$में गतिशील डिस्क $3$ कोशिकाएँ: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ यहाँ $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ तथा $D$ का इंटीरियर है $\mathbb{D}.$ तब हमारे पास एक अपघटन है $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ कोशिकाओं के साथ संगत में $\mathbb{Z}/2$ कार्रवाई।
किसी क्रिया का निश्चित बिंदु समुच्चय एक वृत्त है $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ की कक्षा के बाद से $\mathbb{Z}/2$ के होते हैं $*$ तथा $\mathbb{Z}/2$ निम्नलिखित विषुवतीय श्रृंखलाएं हैं: \ start {array} {| c | c | c | c | c |} | \ hline \ operatorname {dim} & * & \ _ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {cells} के अनुरूप} \ Cline {C} n (S ^) 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ _bbbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ * * 1 \ _ 1 & 0 & \ _bbbb {Z} \ oplus / mathbb {Z }, \ quad \ start {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ start {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ ", *, * बार T \\ 2 और 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ start {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ _ ओवरलाइन {1}} \ start {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; प्रारंभ करना {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow \ "ओवरलाइन {1} } \ start {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ गुना *, * \ _ D, T \ गुना T \\ 3 और 0 & \ _bbbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ start {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ start {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D's times T, T \ बार D \\ \ hline \ end {सरणी}
तो ऐसा लगता है कि कोकीन में मूल्यवान है $\underline{\mathbb{Z}}$ हैं:
\ start {array} {| c | c |}} hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ _bbbb {Z} \\ 2 & \ _bbbb {Z} \ \ 3 और \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {सरणी} के बाद से$(T\times T)^*=0$ कोकीन में, हमारे पास है $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ अंतर $d_1$ तब से एक समरूपता है $\partial(D\times *)=T\times *.$ ऐसा लगता है $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$
यह मेरे लिए थोड़ा अजीब है कि भागफल एक घरेलू क्षेत्र है। ज़रूर, समूह$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ चूंकि अभिविन्यास संरक्षित है, लेकिन शायद मैंने कुछ याद किया है $2$-कम डिग्री में पार्टनरशिप?
जवाब
आपका अंतिम उत्तर सही है, लेकिन आपके द्वारा उपयोग किया जा रहा सेल संरचना नहीं है $G$-WW संरचना: $T\times T$ इस तरह से सेल के रूप में इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है।
मैं इसे इस तरह से देखूंगा: की कार्रवाई $G = {\mathbb Z}/2$ पर $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा जा सकता है $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, कहां है $G$ तुच्छ कार्य करता है $\mathbb{C}$ और नकार पर $\mathbb{C}^\sigma$। गोला$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ एक सूत्रीय जमावड़ा भी है $S^{1+2\lambda}$, कहां है $\lambda$ के साथ वास्तविक रेखा को दर्शाता है $G$निषेध द्वारा अभिनय। यह एक है$G$-WW संरचना के साथ
- एक $G$-प्रकाशित 0-कोशिका,
- एक $G$-संशोधित 1-कोशिका,
- एक $G$-फ्री 2-सेल, और
- एक $G$-फ्री 3-सेल,
ताकि कंकाल हैं $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, तथा $S^{1+2\lambda}$। यहाँ से आप यह पता लगा सकते हैं कि$\underline{\mathbb{Z}}$-कोचिन कॉम्प्लेक्स है $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$
यह जांचने का एक तरीका है कि उत्तर सही है $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ और तब की ज्ञात गणना का उपयोग करें $RO(G)$एक बिंदु की उन्नत सहसंयोजी (मूल रूप से स्टोंग (अप्रकाशित) के कारण, विभिन्न स्थानों में प्रकाशित होने के बाद)।