एक मानक वेक्टर स्थान दिखाना एक बंद उप-स्थान और एक आयामी उप-स्थान का प्रत्यक्ष योग है।
नीचे लैंग के रियल और फंक्शनल एनालिसिस में चैप्टर IV बैंच स्पेस से 7 एक्सरसाइज की गई है:
लश्कर $F$ मानदंड सदिश स्थान का एक बंद उप-क्षेत्र हो $E$, और जाने $v\in E, v\notin F$। वो दिखाओ$F+ \Bbb{R}v$बंद हो गया है। अगर$E=F+ \Bbb{R}v$, वो दिखाओ $E$ का सीधा योग है $F$ तथा $\Bbb Rv$ (मतलब नक्शा $\phi(f,rv)= f+rv$ से सबसे बड़ा समरूपता है $F\times \Bbb Rv$ सेवा $E$, (एक होमियोमॉर्फिज्म और आइसोमोर्फिज्म)।
मैं साबित कर सकता हूं $F+ \Bbb{R}v$ भागफल स्थान को देखकर बंद किया जाता है $E/F$। की छवि के रूप में$F+ \Bbb{R}v$ भागफल मानचित्र के अंतर्गत $\rho$ होमोमोर्फिक है $\Bbb R$, यह अपने आप बंद हो जाता है $E/F$, जिसका प्रतिलोम चित्र बंद है $E$ की निरंतरता से $\rho$। परंतु$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$, जिससे की निकटता साबित होती है $F+ \Bbb{R}v$। लेकिन मैं बाद वाला बयान दिखाने पर अड़ा हूं। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है$\phi$ एक खुला नक्शा है, जिसे दिखाना है $U_1+U_2$ खुला है अगर $U_1$ तथा $U_2$ के खुले उपसमुच्चय हैं $F$ तथा $\Bbb Rv$, क्रमशः। लैंग का उल्लेख है कि यह ओपन मैपिंग प्रमेय का एक आसान परिणाम है, जो एक अधिक सामान्य परिणाम है। हालाँकि, कि पूर्णता ग्रहण नहीं करता है$E$? मैं भागफल अंतरिक्ष तकनीक का उपयोग करने की कोशिश करता हूं, लेकिन यह यहां लागू नहीं होता है$U_1+U_2$जरूरतों को संतृप्त नहीं किया जाना चाहिए। मुझे कैसे आगे बढ़ना चाहिए? अग्रिम में धन्यवाद।
जवाब
लश्कर $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\phi(f,rv):=f+rv$।
यह निरंतर है क्योंकि यह जोड़ और अदिश गुणन की संरचना है। यह स्पष्ट रूप से रैखिक है। यह परिकल्पना पर है, और एक के बाद से$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$
इसलिये $\phi$ उलटा है और जो दिखाया जाना बाकी है वह है $f+rv\mapsto(f,rv)$ निरंतर है।
हन-बानच प्रमेय के बाद से $F$ बंद है, एक सतत कार्यात्मक है $\psi$ इकाई मानदंड का ऐसा $\psi F=0$ परंतु $\psi(v)=t\ne0$। लश्कर$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$। फिर$\pi$ छवि के साथ एक निरंतर प्रक्षेपण है $\mathbb{R}v$ और कर्नेल $F$, अर्थात् \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} यह इस प्रकार है कि $E=F\oplus\mathbb{R}v$।