एक निहित कार्य की एकरसता साबित करना
मैं बीटा फ़ंक्शन की संपत्ति का अध्ययन कर रहा था और मुझे निम्नलिखित समानता का सामना करना पड़ा:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$
कहां है $\text{B}$ बीटा फ़ंक्शन के लिए खड़ा है।
मैं वह सबके लिए दिखा सकता हूं $\alpha>0$, वहाँ एक अद्वितीय मौजूद है $k \in (0,\infty)$उपरोक्त समानता रखती है। मुझे क्या करना है कि जब मैं के ग्राफ की साजिश है$k$ के अनुसार $\alpha$ वोल्फ्राम में, यह पता चला है कि $k$ वास्तव में एक कड़ाई से कम होने वाला फ़ंक्शन wrt है $\alpha$।
मैं उपरोक्त दावे को साबित नहीं कर सका, लेकिन मेरे पास कुछ अंतर्ज्ञान हैं। भागों द्वारा एकीकृत पैदावार कि उपरोक्त समानता के बराबर है:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$
तो कब $\alpha$ बड़ा है, शब्द $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ पर हावी हो जाता है $\lambda=1/2$। इसलिए,$2k/4$ पास रहना चाहिए $1$भी। कब$\alpha$ छोटा है, $k$ से काफी बड़ा होना चाहिए $2$ उस हिस्से की भरपाई के लिए जहां $\lambda$ से दूर रहो $1/2$।
किसी भी संकेत / सुझाव की ज्यादातर सराहना की जाती है।
जवाब
चलो $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$। इम्प्लिमेंटेशन फंक्शन द्वारा प्रमेय को लागू किया गया$R\left(a,k\right)=0$ अपने पास
$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$
इसलिये $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ तथा $\frac{\partial R}{\partial k}<0$। अगर यह स्पष्ट है तो मुझे बताएं।