एक निश्चित कार्यात्मक के तहत बहुपद और डेरिवेटिव के अनुपात

Dec 30 2020

लश्कर $p(x)$ डिग्री का बहुपद हो $n>2$, जड़ों के साथ $x_1,x_2,\dots,x_n$(सहित गुणकों)। लश्कर$m$एक सकारात्मक भी पूर्णांक हो। निम्नलिखित मानचित्रण को परिभाषित करें$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

सवाल। के लिये$\deg p(x)=n>2$ तथा $p'(x)$ इसके व्युत्पन्न, क्या आप व्यक्त कर सकते हैं $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ के एक समारोह के रूप में $m$ तथा $n$ अकेला?

रिमार्क। फेडर के सवालों से प्रेरित होकर, एक शोकेस के रूप में मैंने सिर्फ (साबित नहीं) गणना की$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

जवाब

3 MaxAlekseyev Dec 31 2020 at 11:31

यहाँ एक SageMath कोड जो एक फ़ंक्शन V(m)कंप्यूटिंग प्रदान करता है$V_m(p)$ के प्राथमिक सममित कार्यों के संदर्भ में $x_1,\dots,x_n$ (यानी के गुणांक) $p$) का है।

उदाहरण के लिए, यदि $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, तब फिर $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ और इसी तरह।

इन भावों के लिए एक सबूत $m=2$इस प्रकार तुरंत। हालाँकि, बड़े के लिए$m$ अनुपात $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ का कार्य प्रतीत नहीं होता है $n$, जिसके लिए मैंने कम्प्यूटेशनल रूप से परीक्षण किया है $m$ तक $20$

3 FedorPetrov Dec 30 2020 at 05:38

अगर यह सच होता, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ यह भी केवल पर निर्भर करेगा $m$ तथा $n=\deg p$, और इसी तरह, जब तक हम नहीं मिलते $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$। हमारे पास है$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ तो अगर यह सच होता, तो हमारे पास होता $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$। यह पहले से ही गलत है$n=m=4$: अगर सभी की जड़ें $p$ 0 और 1 के हैं, हमारे पास है $V_4=V_2$, लेकिन अ $V_2^2/V_4=V_2$ तय नहीं है।