एक निश्चित पैटर्न के बिना सेट का अधिकतम घनत्व
एक सीमित सेट पर विचार करें $S$ गैर-पूर्णांक की संख्या।
का सबसे बड़ा प्राकृतिक घनत्व क्या है $\mathbb{Z}$ जिसका कोई अनुवाद नहीं है $S$?
बेशक, यह निर्भर करेगा $S$, लेकिन शायद एक सरल एल्गोरिथ्म या लक्षण वर्णन है। मुझे भी इसी सवाल में दिलचस्पी है$\mathbb{Z}^k$।
क्या उपरोक्त प्रश्नों पर किसी भी रूप में शोध किया गया है? मैं एक खोज क्वेरी के साथ नहीं आया जो कुछ भी लौटाता है।
जवाब
प्रश्न कवर करने के न्यूनतम घनत्व को खोजने के बराबर है $\mathbb{Z}$ के अनुवादों द्वारा $-S$। इस समस्या का पूर्णांक और अन्य समूहों के लिए भी अध्ययन किया गया है; उदाहरण के लिए देखें
वोल्फगैंग एम। श्मिट और डेविड एम। टुल्लर, कवरिंग और पैकिंग में $\mathbb{Z}^n$ तथा $\mathbb{R}^n$, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs00605-009-0099-x
बेला बोल्लोबस, स्वेन्ते जानसन और ओलिवर रिओर्डन, एक सेट के अनुवाद द्वारा कवर करने पर, https://doi.org/10.1002/rsa.20346