एक समारोह साबित करना $\pi$ से $U(q) \to U(q')$ पर होना है
यह विशेष प्रश्न मेरे अमूर्त बीजगणित प्रश्नोत्तरी में पूछा गया था और मैं इसे हल नहीं कर सका।
चलो $q ,q' \in \mathbb{N} $ और जाने $q'\mid q$। चलो$U(m)$ अवशेषों वर्गों के गुणक समूह को निरूपित करें $m$। चलो$\pi: U(q) \to U(q')$ ऐसा हो कि अगर $a \in U(q)$, $\pi(a)$ में अद्वितीय तत्व है $U(q')$ ऐसा है कि $a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$।
फिर दिखाते हैं $\pi$ पर है।
प्रयास किया - मैं उलझन में था। सब मैं दिखा सकता है$a$ के रूप में गैर शून्य है $a$ का है $U(q)$ तथा $a \not \equiv 0 \pmod {q'}$ जैसा $\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$। लेकिन स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।
कृपया, कुछ संकेत दें। बाकी मैं खुद काम करना चाहूंगा।
जवाब
संकेत: चलो $y\in\Bbb Z$ ऐसा है कि $\gcd(y,q')=1$। चीनी अवशेष प्रमेय द्वारा वहाँ मौजूद है$k\in\Bbb Z$ ऐसा है कि $y+kq'\equiv 1\pmod p$ प्रत्येक प्रधान भाजक के लिए $p$ का $q$ जो विभाजित नहीं करता है $q'$।
विस्तृत प्रमाण: आज्ञा दें$P$ के प्रमुख विभाजकों का सेट हो $q$ जो विभाजित नहीं करता है $q'$। चीनी अवशेष प्रमेय द्वारा वहाँ मौजूद है$k\in\Bbb Z$ ऐसा है कि $$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$ हर एक के लिए $p\in P$। हर एक के लिए$p\in P$, से $p\nmid q'$ इस प्रकार है $q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$, इसलिये $y+kq'\equiv 1\pmod p$।
ध्यान दें कि $\gcd(y+kq',q)=1$। के लिए$p$ का एक प्रमुख विभाजक हो $\gcd(y+kq',q)$। फिर$p|q$। अगर$p|q'$, तब फिर $p|y$ जो विरोधाभासी है $\gcd(y,q')=1$। अन्यथा, यदि$p\nmid q'$, तब फिर $p\in P$, इसलिये $y+kq'\equiv 1\pmod p$ जो विरोधाभासी है $p|(y+kq')$।
अगर $\bar x$ के अवशेष वर्ग को निरूपित करते हैं $y+kq'$ modulo $q$ तथा $\bar y$ के अवशेष वर्ग $y$ modulo $q'$, तब फिर $\bar x\in U(q)$ तथा $\bar y=\pi(\bar x)$।
हम तीन मामलों पर विचार करते हैं:
$𝑞′ = 𝑝^{\alpha},\, 𝑞=𝑝^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\,𝑝 \text{ prime}$
$q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$
$q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$
केस 1: चलो $a\in\mathbb{Z}$: $$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$ अपने पास $\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$
केस 2: चीनी शेष प्रमेय द्वारा: \begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}
तोह फिर \begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*} से प्रत्येक $\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$ इतना विशेषण है $\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$।
- केस 3: चलो $a\in\mathbb{Z}$ सेंट $a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$। इसलिए$gcd(a,q_1) = 1$ समीकरण $$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$ समाधान मानते हैं: \begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*} कहां है $n_0, m_0$ समीकरण के विशेष समाधान हैं।
हम समीकरण का हल खोजना चाहते हैं: $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$
पहले समीकरण के बराबर है $n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$ तोह फिर \begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$ इतना मानचित्रण \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}इंजेक्शन है, इसलिए यह विशेषण है; वहां मौजूद$s_0\in\mathbb{Z}$ सेंट $gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$। हम रखतें है$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$ उसी तर्क से, मानचित्रण: \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*} यह विशेषण है, इसलिए समीकरण है $m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$ समाधान मानते हैं $m_0^{\prime}, t_0$। अंत में हमने लगा दिया$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, तो हम एक विशेष समाधान मिल गया है $s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$ समीकरण के लिए $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ हम रखतें है $b = a -s_0 q_1$; अपने पास$b\in U(q_1q_2)$ तथा $\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; इसलिए हमने साबित कर दिया है$\pi$ विशेषण है।
वैचारिक रूप से हमने साबित किया है कि तीन आरेख कम्यूटेटिव हैं
कहां है $cr_{\star}$ क्या चीनी शेष प्रमेय द्वारा दिए गए आइसोमोर्फिम्स हैं, इसलिए हम दूसरों की विशेषणता से वांछित होमोमोर्फिज्म की वृद्धि को कम करते हैं