एक संयोजन समस्या और संभावना व्याख्या

Question

एक गाऊसी वेक्टर चर के लिए $w\sim N(0,I_{n\times n})$वर्ग मानदंड के क्षण हैं $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$।

Isserlis 'प्रमेय के आधार पर ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ के रूप में भी मूल्यांकन किया जा सकता है $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ कहां है $\mathcal{P}([r])$ सेट पर सभी विभाजन का मतलब है $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ एक विभाजन है, $p$ एक विभाजन में एक ब्लॉक है, $|\pi|$ तथा $|p|$ ब्लॉक की संख्या और तत्वों की संख्या एक ब्लॉक में होती है।

अब उपरोक्त समस्या के एक प्रकार पर विचार करें। $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ उपरोक्त सूत्र केवल कारक के साथ गौसियन वेक्टर चर के वर्ग मान के क्षणों से भिन्न होता है $\frac{1}{2}$। क्या उपरोक्त सूत्र के लिए समान परिमित उत्पाद समाधान और संभाव्यता व्याख्या है?

Answer 1

ठीक कर $n$। लश्कर$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ लश्कर $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$कम्पुटरल फॉर्मूला ( एन्यूमेरेटिव कॉम्बिनेटरिक्स की प्रमेय ५.१.४ , खंड २), आपके द्वारा निर्धारित संख्या$r!$ के गुणांक से गुना $x^r$ में $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ आप इसे द्विपद प्रमेय द्वारा विस्तारित कर सकते हैं और फिर एक संख्या के रूप में अपनी संख्या के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए एक शक्ति श्रृंखला में प्रत्येक शब्द का विस्तार कर सकते हैं $n$ शर्तें।