एक यादृच्छिक चर की उम्मीद का मूल्यांकन
लश्कर $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ एकात्मक और रैखिक स्वतंत्र वैक्टर और $X_1,...,X_n$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर (एक विशिष्ट संभावना स्थान पर) जैसे कि हर $X_i$ पैरामीटर का एक बर्नौली वितरण है $p_i \in [0,1]$।
a) आज्ञा दें $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, की उम्मीद की गणना करें $Z$, कहाँ पे $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ साथ में $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $।
b) लेट V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, कि किसी के लिए भी दिखाओ $v \in V$ मौजूद है $y \in V$ ऐसा है कि $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ तथा $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, साथ में $b_i \in \{0,1\}$। संकेत: एक का उपयोग कर)।
मैंने यह अभ्यास ऑनलाइन पाया है और मुझे पॉइंट बी को हल करने में कुछ परेशानी हो रही है। मैंने बिंदु a) चुनने का काम किया है$( \mathbb{R}^n, B, P)$ संभावना स्थान के रूप में, जहां B बोरल है $\sigma $-एल्जेब्रा और पी उत्पाद के माप के बराबर है $X_i$वितरण। मैंने पाया है कि Z की उम्मीद है\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}
मैं जानना चाहूंगा कि क्या बिंदु ए का मेरा समाधान सही है और बिंदु बी के लिए कुछ सलाह प्राप्त करना है)।
धन्यवाद
जवाब
मुझे लगता है कि बिंदु बी अभ्यास का मुख्य मुद्दा है और इसे निम्नानुसार साबित किया जा सकता है।
a)) दें $y=\sum x_i v_i$, कहाँ पे $x_i=1$ संभाव्यता के साथ $p_i$ तथा $x_i=0$ संभाव्यता के साथ $1- p_i$, स्वतंत्र रूप से।
फिर
$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$
इसलिए $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$
b)) चुनना $p_i=a_i$ प्रत्येक के लिए $i$, हम इसे प्राप्त करते हैं $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ जिसका अर्थ है बिंदु b।