एकीकरण कहाँ समाप्त होता है?
इंटीग्रल्स के लिए नया। Im हल कर रहा है$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ लेकिन मुझे एक गलत उत्तर मिला: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ सही उत्तर होना चाहिए: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ यहाँ मेरी पूरी कोशिश है: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ क्या आप मुझे सही कर सकते हैं और मुझे कुछ सीखने के लिए स्रोत दे सकते हैं?
अग्रिम में धन्यवाद!
जवाब
आप कदम (और सहित) तक सभी तरह से सही हैं:
$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$
आप गलत तरीके से इस तथ्य को लागू कर रहे हैं कि
$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$
ध्यान दें यह होना चाहिए ${1+x^2}$- नहीं ${1+ax^2}$। इसके बजाय, आपको तब प्रतिस्थापन करना चाहिए${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ पाने के लिए
$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$
आवश्यकता अनुसार।
दिया हुआ, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$
हम वह जानते हैं,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$
इसलिए,
$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ यहाँ,$a=1$ तथा $u=\frac{x}{\sqrt3}$ तथा $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,
अर्थात, $dx={\sqrt3}du$
तो हमारा वांछित उत्तर है,
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$
$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$
$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$
अभिन्न पैदावार में वापस हमारे प्रतिस्थापन प्लगिंग
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$
इसलिए हम अब साथ रह गए हैं
$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$
चूँकि यह एक अनिश्चित अभिन्न अंग है, हमें x के संदर्भ में अपना उत्तर लिखना होगा। थीटा के लिए हमारे प्रतिस्थापन और पुनर्व्यवस्थापन को देखते हुए, हम अपने अंतिम उत्तर पर जाते हैं:
$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$
आपकी समस्या अंतिम समानता में है। अगर$F(x)$ का एक आदिम है $f(x)$, और अगर $c\ne0$, तो एक आदिम की $f(cx)$ होगा $\frac1cF(cx)$। इसलिए, जब से$\arctan(x)$ का एक आदिम है $\frac1{1+x^2}$, का एक आदिम $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ होगा $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$।
विकल्प $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$