$\ell^1$ इकाई गेंद functor के लिए सहायक के रूप में छोड़ दिया functor
इस उत्तर के लिए एक टिप्पणी में
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
यमन चोई ने नोट किया कि "द $\ell^1$ functor एक मुफ्त Banach space functor है, जो कि भुलक्कड़ इकाई बॉल फंक्टर के निकट स्थित है "।
यह कथन मेरे लिए पेचीदा है, लेकिन मुझे यक़ीन नहीं है कि यमन किस श्रेणी और कार्यकर्त्ता के बारे में बात कर रहा है। मैं कल्पना करता हूं कि हमारे पास एक तरफ Banach रिक्त स्थान (किस नक्शे के साथ?) की श्रेणी है, लेकिन दूसरे के बारे में क्या है? अगर कोई यहाँ विवरण भर सकता है तो मुझे बहुत खुशी होगी। इसके अलावा, अगर किसी के पास एक कार्यात्मक विश्लेषण पाठ का संदर्भ है, जो इस परिप्रेक्ष्य को लेता है, तो मुझे उस उत्तर के साथ भी खुशी होगी।
जवाब
आप श्रेणी लेना चाहते हैं $\text{Ban}_1$Banach रिक्त स्थान और लघु नक्शे (ऑपरेटर मानदंड के रैखिक नक्शे)$\le 1$) का है। यूनिट बॉल फन्नेकर$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ द्वारा दर्शाया गया है $\mathbb{C}$, और इसका बायाँ भाग एक सेट भेजता है $S$ के मुकाबले के लिए $S$ की प्रतियां $\mathbb{C}$, जो निकला $\ell^1(S)$। यह कहता है कि हमें एक प्राकृतिक आक्षेप है
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
जो कहता है कि एक सेट से एक नक्शा $S$ यूनिट बॉल को $U(B)$ एक Banach स्थान विशिष्ट और स्वतंत्र रूप से एक छोटे से नक्शे तक फैला हुआ है $\ell^1(S) \to B$, "रैखिकता" द्वारा।
सहज रूप से यह बात कहती है कि $\ell^1(S)$ से प्राप्त किया जाता है $S$ के प्रत्येक तत्व की आवश्यकता होती है $S$ आदर्श है $1$ (ताकि यह यूनिट बॉल में हो और किसी अन्य यूनिट बॉल के किसी भी अन्य तत्व के लिए शीघ्र ही मैप कर सके) और फिर यह पूछते हुए कि एक रैखिक संयोजन $\sum c_s s$इस के साथ संगत सबसे बड़ा संभव मानदंड है (ताकि यह किसी अन्य Banach अंतरिक्ष में इस तरह के किसी भी अन्य रैखिक संयोजन के लिए शीघ्र ही मैप कर सके)। हमारे पास है$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ त्रिकोण असमानता और द्वारा $\ell^1$ मानदंड इस की समानता का मामला है।
यह निर्माण अंदर के निर्माण के सामान्यीकरण करता है $\text{Ban}_1$, जो इस तरह दिखता है: यदि $B_i$ Banach रिक्त स्थान का एक संग्रह है, में उनका मुकाबला $\text{Ban}_1$ सदिश स्थान प्रत्यक्ष राशि का पूरा होना है $\bigoplus_i B_i$ के प्रति सम्मान के साथ "$\ell^1$ मानदंड " $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$।
आत्म-प्रचार के लिए क्षमा याचना, लेकिन मैं स्पष्ट गुणों के बारे में थोड़ा और विस्तार में जाता हूं $\text{Ban}_1$(जैसे यह मेरे ब्लॉग पोस्ट Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मैट्रिक्स, और बंद श्रेणियां) में पूर्ण, cocomplete, और बंद सममित मोनॉयडल है) । विशेष रूप से मैं लघु मानचित्रों के उपयोग को प्रेरित करने का प्रयास करता हूं। ध्यान दें कि यदि हम केवल बाउंडेड रेखीय मानचित्रों के साथ काम करते हैं तो हम एक सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से आइसोमेट्री तक एक बाणच स्पेस को पुनर्प्राप्त करने की उम्मीद नहीं कर सकते हैं, जबकि आइसोमोर्फिम्स में$\text{Ban}_1$सममितीय हैं। दूसरी ओर श्रेणीबद्ध भाषा बंद संरचना के माध्यम से अभी भी बंधे हुए नक्शे के बारे में बात करने में सक्षम है।
चलिए बैंग (बैन, जियोमेट्रिक) उस श्रेणी को निरूपित करते हैं जिसकी वस्तुएं बाणच रिक्त स्थान हैं और जिनके आकारिकी में रेखीय नक्शे हैं जो आदर्श हैं $\leq 1$। (हम वास्तविक या जटिल स्केलर पर काम कर सकते हैं।) Let सेट वह श्रेणी है जिसके ऑब्जेक्ट सेट होते हैं और जिनके आकारिकी कार्य होते हैं।$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
एक फनकार है $\Ball$बैंग से लेकर सेट तक जो प्रत्येक बैनच स्पेस को उसकी बंद यूनिट बॉल को असाइन करता है; बैंग के आकारिकी पर स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि प्रत्येक$f:X\to Y$ में बंग एक समारोह के लिए प्रतिबंधित करता है $\Ball(X) \to \Ball(Y)$।
क्या एक बाईं बगल होगा $\Ball$हमशक्ल? हम अल्पविराम श्रेणियों में प्रारंभिक वस्तुओं के संदर्भ में विवरण / लक्षण वर्णन का उपयोग कर सकते हैं। तो प्रत्येक सेट के लिए$S$ हम एक Banach स्थान चाहते हैं $F(S)$ और एक समारोह $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति के साथ: जब भी $E$ एक Banach स्थान है और $h:S\to \Ball(E)$ एक फ़ंक्शन है, एक अद्वितीय बैंग-मॉर्फिज़्म है $T: F(S)\to \Ball(E)$ ऐसा है कि $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ कार्यों के रूप में।
विभिन्न आकारिकी की परिभाषाओं को खोलना: हमें किसी भी फ़ंक्शन के लिए जो आवश्यक है, वह है $h$ से $S$ सेवा मेरे $E$ संतोषजनक $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ सभी के लिए $j\in S$, एक अद्वितीय रैखिक नक्शा होना चाहिए $T: F(S) \to E$ ऐसा है कि $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ सभी के लिए $v\in F(S)$ तथा $T(\eta_S(j))=h(j)$ सभी के लिए $j\in S$।
चीजों को प्रेरित करने की कोशिश करने के बाद, आइए, हम बनाते हैं Ansatz । परिभाषित$F(S)$ बनक स्थान होना $\ell_1(S)$ अपने सामान्य आदर्श के साथ $\Vert\quad\Vert_1$; लश्कर$(e_j)_{j\in S}$ में विहित आधार डॉक्टरों को निरूपित करें $\ell_1(S)$। रैखिक नक्शे के लिए एकमात्र संभावित उम्मीदवार$T:\ell_1(S) \to E$ है: परिभाषित $T(e_j):= h(j)$ प्रत्येक के लिए $j$, और रैखिकता और निरंतरता द्वारा विस्तार। यह देखने के लिए कि यह काम करता है, कि किसी के लिए भी देखें$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ अपने पास
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
सारांशित करना: अनिवार्य रूप से ऊपर जो तर्क दिया गया है, वह यह है कि एक बाउंडेड रेखीय मानचित्र $\ell_1(S)$ एक Banach स्थान के लिए $E$ एक बंधे हुए कार्य को परिभाषित करता है $S\to E$, और इसके विपरीत हर बंधे हुए कार्य $S\to E$ एक अद्वितीय बाउंडेड-लीनियर एक्सटेंशन है $\ell_1(S)\to E$। (ध्यान दें कि यह पैराग्राफ, जो विश्लेषक भाषा के बजाय विश्लेषक भाषा में कहा गया है, थोड़ा अधिक सामान्य है क्योंकि मुझे आदर्श होने के लिए हर चीज की आवश्यकता नहीं है$\leq 1$; लेकिन बैंग को प्रतिबंधित करना आवश्यक लगता है, अगर कोई इस विश्लेषण-तथ्य का एक अच्छा कथन सहायक की भाषा में प्राप्त करना चाहता है।)
वास्तव में हम आगे जा सकते हैं और कह सकते हैं कि आसन्न समरूपता है $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, जो प्राथमिकताओं में सेटों का स्वाभाविक रूप से व्यवहार करने वाला जीव है, बंग में एक समरूपता के लिए समृद्ध किया जा सकता है: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$।
यह व्यायाम 20 है , पृष्ठ 167 पर व्याख्यान और हेलेम्स्की द्वारा कार्यात्मक विश्लेषण पर अभ्यास ।
एक और पर्याप्त चर्चा Jiří Rosický द्वारा Banach रिक्त स्थान में किए गए हैं? , arXiv: 2011.07543 ।