गैर-त्रिकोणमितीय प्रमाण: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$।

Aug 18 2020

यह प्रश्न पहले भी पूछा जा चुका है, लेकिन इसका उत्तर त्रिकोणमिति और स्टीवर्ट के प्रमेय से संबंधित समाधान देता है जिससे मैं बचना चाहता था।

एक त्रिभुज में $\triangle ABC$, बिंदु से कोण का द्विभाजक $A$ चौराहों $\overline {BC}$ बिंदु में $D$। सिद्ध करें:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$


मेरा दृष्टिकोण:

चलो $c$ की परिधि हो $\triangle ABC$ और जाने $E$ लाइन का चौराहा हो $AD$ और सर्कल $c$

हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

दूसरी ओर:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

आखिरकार,

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

चित्र:


क्या मैं पूछ सकता हूं कि क्या यह वैध है? यदि हां, तो क्या मैं अपने प्रमाण को बेहतर बनाने के लिए कुछ कर सकता हूं?

आपका अग्रिम में ही बहुत धन्यवाद!

जवाब

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

दूसरा चरण नोट करें ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$एक प्रसिद्ध प्रमेय है ( इन्टर्सेक्टिंग कॉर्ड्स प्रमेय ), इसलिए आप इसे स्वयं को साबित करने के बजाय केवल इसका उल्लेख कर सकते हैं। इसके अलावा, यह प्रमाण पूरी तरह से वैध है, और बहुत कम होने के नाते, मैं यह नहीं देख सकता कि इसे कैसे सुधार किया जा सकता है।