गणित की भाषा की सीमाएँ क्या हैं?
मुझे बताया गया कि गणित गुणात्मक रूप से व्यक्त नहीं कर सकता है कि एक सेट के तत्व क्या हैं, जैसे कि आप उदाहरण के लिए यह नहीं कह सकते हैं कि सेट के सदस्यों में सफेद बाघ होते हैं। इसलिए गणित एक गणितीय अवधारणा या एक गणित उदाहरण में गुणात्मक विवरण नहीं जोड़ सकता है। मैं यह जानना चाहूंगा कि अंग्रेजी जैसी लिखित या बोली जाने वाली भाषा की तुलना में गणित की भाषा की कुछ अन्य सीमाएं क्या हैं।
जवाब
गणितीय भाषा दुनिया के बारे में बात करने का एक अधिक कठोर तरीका है। इस लिहाज से इसकी कोई सीमा नहीं है कि यह किसी भी भाषा की सीमा नहीं होगी।
यह आज कोई नहीं जानता कि मजाक, वाक्य और कविता को गणितीय रूप से कैसे व्यक्त किया जाए, इसका अर्थ यह नहीं है कि उन्हें गणितीय रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। एक समय था, जब कोई भी उदाहरण के लिए, गणितीय रूप से संभावनाओं को व्यक्त करना नहीं जानता था, और अब देखो ...
यह तथ्य कि गणितीय भाषा में लिखी गई कविताएँ नहीं हैं, इसका अर्थ यह नहीं है कि ऐसा नहीं किया जा सकता था। इसके बजाय, यह इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि यह एक विशेष भाषा है और इसलिए अधिकांश लोग इसे अच्छी तरह से समझ नहीं पाते हैं।
मजाक के रूप में, यहाँ एक है, औपचारिक तर्क की भाषा में लिखा गया है:
(⊃ ψ ψ) → (φ → ⊃)
यह वास्तव में बहुत मज़ेदार है, लेकिन आपको इसे समझने की ज़रूरत है और बहुत कम लोग इसे प्राप्त करते हैं।
यहां कुछ टिप्पणीकारों के विपरीत, गणित और भाषा के बीच एक बड़ा अंतर है, इस तथ्य के बावजूद कि किसी भी वाक्य को स्पष्ट रूप से गणितीय रूप में अनुवादित किया जा सकता है "जानकारी।"
रसेल, लॉजिकल पोजिटिविस्ट्स और अन्य लोगों ने तर्क के लिए भाषा और गणित दोनों को कम करके इसके नकली गुणों की भाषा से छुटकारा पाने के लिए निर्धारित किया है। जबकि काम काफी फलदायी था, परियोजना को केवल एक विफलता माना गया था, कम से कम एक पूर्ण प्रणाली के रूप में। प्रारंभिक और दिवंगत विट्गेन्स्टाइन के बीच का विराम भाषा की विशाल, जटिल, रहन-सहन और प्रदर्शनकारी प्रकृति को देखते हुए इस "विफलता" का एक नाटकीय वर्णन करता है।
पहले स्थान पर, भाषा सन्निहित, अनुभवात्मक और मुख्य रूप से मौखिक है। यह गर्भ में कंपन के साथ शुरू होता है और मानव जीवन, भौतिक संदर्भों और प्रजनन के साथ निरंतर होता है। हम शब्दों को दृश्य वर्णमाला में स्थानांतरित कर सकते हैं, लेकिन इसके लिए सीखने की एक अप्राकृतिक, कठिन प्रक्रिया की आवश्यकता होती है। आप इन दृश्य संकेतों को बिना बोले गए शब्दों तक पहुँच के बिना भाषा में अनुवाद नहीं कर सकते। क्रूड पिक्टोग्राम के अलावा, आप एक "मृत भाषा" का अनुवाद या पुनर्प्राप्ति नहीं कर सकते हैं, जैसे कि कुछ संबंध के बिना रैखिक ए, हालांकि अप्रत्यक्ष रूप से, एक जीवित "बोली" भाषा के लिए।
इससे पता चलता है कि भाषा में जीवन के समान ही समयबद्ध अपरिवर्तनीयता है, जबकि गणित "प्रतिवर्ती" है और इसलिए अर्थ से खाली है, अगर "अर्थ" करना है, जैसा कि लुहमैन कहते हैं, वास्तविक के संबंधों के साथ संभव है। गणित जितना संभव हो उतना ही अनुभवात्मक सामग्री को शून्य करने का प्रयास करता है, जबकि भाषा का अनुभव है और हमेशा मानता है, हालांकि दूर से, एक विशेष इतिहास और वातावरण के साथ एक मूर्त वक्ता।
हम भाषा के बिना गणित नहीं सीख सकते, लेकिन हम आसानी से गणित के बिना भाषा सीखते हैं। सिद्धांत रूप में, कुछ तर्क दे सकते हैं कि AI अद्वितीय मानव भाषा कौशल का एक गणितीयकरण करेगा जो दिमाग के भीतर और उसके बीच चलता है। लेकिन बुद्धिमान दिमाग की भाषाई क्षमताओं में से एक यह है कि वे खुद को पुन: पेश करते हैं, जबकि यह बहुत ही संदिग्ध है कि कंप्यूटिंग मशीन मानव प्रजनन के वातावरण के बाहर खुद को पुन: पेश कर सकती हैं।
शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है।
शुद्ध गणित पूरी तरह से सामान्य रूप के अमूर्त सत्यों से संबंधित है "कुछ प्रारंभिक औपचारिक शर्तें दी गई हैं या पोस्टगुलेट किए गए हैं, परिणाम क्या हैं?" एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में उदाहरण के लिए इन औपचारिक स्थितियों को आदिम , संबंधों , और स्वयंसिद्धों में विभाजित किया गया है जो परिभाषित करते हैं कि कैसे संबंध आदिम पर लागू होते हैं। लेकिन आदिम और संबंधों का कोई आंतरिक अर्थ नहीं है।
जब कुछ अर्थ एक आदिम पर लागू होता है, तो व्यायाम लागू गणित में से एक बन जाता है। किसी दिए गए शुद्ध गणितीय अनुशासन को कई अलग-अलग अर्थों में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक में लागू गणित की एक अलग शाखा होती है। जैसा कि डेविड हिल्बर्ट ने एक बार स्वयंसिद्ध रूप से स्वयंसिद्ध ज्यामिति की टिप्पणी की थी, एक पूरी तरह से "अंक", "लाइनों" और "विमानों" को टेबल, कुर्सियों और बीयर मग पर लागू कर सकता है।
इस प्रकार, एक सेट के तत्वों के गणितीय गुण, आदिम प्लेसहोल्डर के रूप में, शुद्ध गणित का डोमेन है, जबकि सफेद बाघों के एक पिंजरे के गणितीय गुणों को लागू गणित का डोमेन है।
रंगों और संगीत के पीछे बहुत से ठोस गणित हैं। सेट सिद्धांत में, आप विभिन्न रंगों के कार्डिनल के साथ सेट के बारे में बात कर सकते हैं उनके रंगों की संख्या के लिए।
सामान्य और विशिष्ट अवधारणाओं के लिए तार्किक संरचना को आरेखित किया जा सकता है।
फिर भी, मैं अपना दांव हेज करूंगा और सिर्फ इतना कहूंगा कि हम नहीं जानते कि क्या हम प्रत्येक प्रासंगिक अवधारणा को उसके स्वयं के गणित के साथ जोड़ सकते हैं, एक प्रासंगिक तरीके से। ऐसे मामलों में जहां सफलता आगामी नहीं लगती है, यह हो सकता है कि हमने अभी तक शब्द समस्या का पता नहीं लगाया है, इसलिए बोलने के लिए।