हरस्टीन व्यायाम: एक परिमित समूह जी का एक उपसमूह ऐसा $|G| \nmid i_G(H)!$ एक गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह होना चाहिए।
यह एक 'हार्डर' 40 की समस्या है, जो एलेजेब्रा द्वारा 1996 में ली गई थी। मैं सिर्फ यह पता लगाने में सक्षम नहीं हूं कि यह कैसे करना है। हालांकि मुझे एक समान पोस्ट मिली । निम्नलिखित प्रश्न का शब्दशः कथन है।
अगर $G$ एक परिमित समूह है, $H$ का उपसमूह $G$ ऐसा है कि $n \nmid i_G(H)!$, कहाँ पे $n=|G|$, यह साबित करें कि एक सामान्य उपसमूह है $N \neq (e)$ का $G$ इसमें रखा $H$।
PS मुझे इस बारे में एक सप्ताह के लिए अटक गया है, और अब मैं तौलिया में फेंक रहा हूं, इसलिए मैं वास्तव में एक समाधान की सराहना करूंगा, लेकिन मैंने विनम्रतापूर्वक आपको इसके बजाय मुझे संकेत देने के लिए उकसाया ताकि मैं इस समस्या को मार सकूं ( अपने आप की तरह), हालांकि स्पष्ट रूप से, मैंने उम्मीद छोड़ दी है।
जवाब
मान लो कि $H$ सूचकांक है $n$ में $G$। (दाईं ओर, कहते हैं) कोष्ठक पर कार्रवाई$H$ एक समरूपता को प्रेरित करता है $\phi:G\to S_n$, और इस मानचित्र का कर्नेल, का मूल है$H$ में $G$, का सबसे बड़ा सामान्य उपसमूह है $G$ इसमें रखा $H$। इस प्रकार कोर गैर-तुच्छ है यदि और केवल यदि उपसमूह$N$ आप की आवश्यकता है, तो मौजूद है $N$इस कोर को निरूपित करें। जबसे$G/N$ के एक उपसमूह के लिए आइसोमॉर्फिक है $S_n$, $|G/N|\mid n!$। परंतु$|G|\nmid n!$, और इसीलिए $|N|>1$।