हिल्बर्ट अंतरिक्ष में बॉल्स
मैंने हाल ही में एक दिलचस्प तथ्य पर ध्यान दिया, जो शायद मुश्किल सवाल है। अगर$n$ एक प्राकृतिक संख्या है, चलो $k_n$ सबसे छोटी संख्या हो $k$ इस तरह कि त्रिज्या की एक खुली गेंद $k$ पर्याप्त रूप से बड़े आयाम या अनंत आयाम वाले वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में होते हैं $n$ जोड़ीदार त्रिज्या की खुली गेंदों की असहमति 1. (हिल्बर्ट स्पेस का आयाम तब तक अप्रासंगिक है जब तक यह कम से कम है $n-1$ चूंकि यह गेंदों के केंद्रों द्वारा फैलाए गए एफाइन उप-स्थान द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।) हमारे पास स्पष्ट रूप से है $k_1=1$ तथा $k_2=2$, और यह देखना आसान है $k_3=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2.1547$। दिलचस्प तथ्य यह है कि$k_n\leq 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ सबके लिए $n$, क्योंकि एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष में इस त्रिज्या की एक खुली गेंद में अनंत रूप से कई जोड़ीदार त्रिज्या के खुले गोले होते हैं [एक अलौकिक आधार के बिंदुओं पर केंद्रित गेंदों पर विचार करें]। स्पष्ट प्रश्न हैं: (1) क्या है$k_n$? यह ज्ञात हो सकता है, लेकिन यह मुश्किल दिखता है क्योंकि यह क्षेत्र पैकिंग से संबंधित है। (२) है$k_n$ में भी सख्ती से बढ़ रही है $n$? (३) है$k_n<1+\sqrt{2}$ सबके लिए $n$, या वे पर्याप्त रूप से बड़े के लिए समान हैं $n$? (४) क्या यह सच भी है$\sup_n k_n=1+\sqrt{2}$? यह भी पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि$k_n$ सभी के लिए मौजूद है $n$, यानी कि एक छोटा है $k$ प्रत्येक के लिए $n$, लेकिन कुछ कॉम्पैक्टनेस तर्क होना चाहिए जो यह दर्शाता है। मुझे यह दिलचस्प लगता है कि संख्याएँ$1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ तथा $1+\sqrt{2}$इतने करीब हैं लेकिन गेंदों का व्यवहार बहुत नाटकीय रूप से अलग है। मुझे लगता है कि सवाल छोटे आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान में भी दिलचस्प है: चलो$k_{n,d}$ सबसे छोटा हो $k$ इस तरह कि त्रिज्या की एक खुली गेंद $k$ आयाम के एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में $d$ होता है $n$ जोड़ीदार त्रिज्या की खुली गेंदों को हटा दें। 1. फिर $k_{n,d}$ पर स्थिर होता है $k_n$ के लिये $d\geq n-1$। क्या है$k_{n,d}$? (यह मेरा बहुत कठिन है क्योंकि यह वस्तुतः क्षेत्र-पैकिंग सवाल है$n>>d$।)
जवाब
संकेतन की सुविधा के लिए, मैं अपेक्षा लिखता हूं $\mathop{\mathbb{E}}_i t_i$ औसत दर्शाने के लिए $(\sum_{i=1}^n t_i)/n$।
यदि मैं आपके निर्माण को सही ढंग से समझता हूं, तो आपके पास त्रिज्या की गेंदों का तिरस्कार है $1$ पर केंद्रित है $x_i = \sqrt{2} e_i$ त्रिज्या की एक गेंद में निहित है $1+\sqrt{2}$ पर केंद्रित है $y = 0$। यह निर्माण, जो स्थानों$n$ गेंदों को एक साधारण सिंप्लेक्स के शीर्ष पर कसकर पैक किया जाता है, पदों के संदर्भ में इष्टतम है $x_i$। आपकी समस्या के लिए सटीक इष्टतम बाध्य के लिए, आपको चुनना चाहिए$y=\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$ त्रिज्या प्राप्त करने के लिए $$\boxed{k_n = 1+\sqrt{2 (1-1/n)}}.$$
दावा है कि रखने $x_i$ एक नियमित के कोने पर $(n-1)$-simplex और $y$इस सिम्प्लेक्स के केन्द्रक पर इष्टतम कई अलग-अलग संदर्भों में पहले कई बार साबित हो चुका है। उदाहरण के लिए, यह फ्रेम सिद्धांत में " वेल्च-रैंकिन सिम्प्लेक्स बाउंड " के विभिन्न पदार्थों द्वारा ज्ञात एक बाउंड द्वारा निहित है । यहाँ एक सरल प्रत्यक्ष प्रमाण है:
त्रिभुज असमानता द्वारा, त्रिज्या की एक गेंद $1+r$ पर केंद्रित है $y$ त्रिज्या की एक गेंद होती है $1$ पर केंद्रित है $x_i$ अगर $\lVert x-y\rVert \le r$। त्रिज्या के दो गोले$1$ पर केंद्रित है $x_i$ तथा $x_j$ iff निराशाजनक हैं $\lVert x_i - x_j \rVert \ge 2$। इसलिए, आपकी समस्या को कम करने के लिए कहता है$1 + \max_i \lVert y-x_i\rVert$ का विषय है $\min_{i\ne j} \lVert x_i - x_j\rVert \ge 2$।
चुकता दूरी के साथ काम करना आसान है। अधिकतम वर्ग दूरी$\max_i \lVert y-x_i\rVert^2$ निश्चित रूप से कम से कम औसत है $\mathop{\mathbb{E}}_i \lVert y-x_i\rVert^2$। यह औसत कम से कम कब होता है$y$ औसत ही है $\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$किस मामले में यह बराबर है $\mathop{\mathbb{E}}_i \mathop{\mathbb{E}}_j \lVert x_i-x_j\rVert^2/2$। प्रत्येक पद जहाँ$i=j$ योगदान देता है $0$ इस उम्मीद के लिए, जबकि प्रत्येक पद जहां $i\ne j$ कम से कम योगदान देता है $2$, तो कुल मिलाकर यह उम्मीद कम से कम है $2(n-1)/n$। इस प्रकार अधिकतम वर्ग दूरी$\max_i\lVert y-x_i\rVert^2$ कम से कम है $2(n-1)/n$ और इस तरह $1+r \ge 1+\sqrt{2(n-1)/n}.$ हम यह देख सकते हैं कि पहले उल्लेखित इष्टतम विन्यास इस बाउंड को सीधे गणना द्वारा या हमारे तर्क के प्रत्येक चरण में समानता प्राप्त करने के द्वारा यह बताता है।