इरेड्यूसिएबल लैटीटस के एक उत्पाद के लिए कौन से पूर्ण अक्षांश समद्विबाहु हैं?
किसी भी परिवार को पूर्ण अक्षांशों को देखते हुए $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ सभी के लिए सेंट $i\in I$ हम निरूपित करते हैं $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ तथा $X=\prod_{i\in I}X_i$ नोट हम एक पूर्ण जाली को परिभाषित कर सकते हैं $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (यह उनके उत्पाद कहते हैं) पर $X$ अनुसूचित जनजाति $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, के लिए परिभाषित किया गया है $a,b\in X$ निम्नलिखित नुसार: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ इसके अलावा यदि $S\subseteq X$ फिर $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ तथा $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ इसके अलावा हम एक तत्व के साथ किसी भी जाली को तुच्छ कहते हैं और एक पूर्ण जाली कहते हैं $\mathfrak{L}$ यदि दो या दो से अधिक गैर-तुच्छ पूर्ण अक्षांशों का परिवार मौजूद नहीं है, तो यह अप्रमाणिक है $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ अनुसूचित जनजाति $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$। अब उस सब के साथ कहा, मेरा सवाल यह है कि इरेट्यूसिबल लैटिस के एक उत्पाद के लिए पूर्ण लैटेसिस आइसोमॉर्फिक कब हैं? उदाहरण के लिए इसे निर्धारित करने के लिए कोई 'प्राथमिक' या 'उपयोगी' मानदंड हैं? पूर्ण अक्षांशों के उदाहरण क्या हैं जो इरेड्यूसबल लैटिस के किसी भी उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक नहीं हैं? क्या कोई मुझे इनमें से कुछ दे सकता है?
विचित्र रूप से कोई भी परिमित पूर्ण जाली विडंबनाकारी लैटिस के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है, क्योंकि यदि जाली स्वयं ही अप्रासंगिक है तो हम किया जाता है अन्यथा हम इसे दो जाली में बदल सकते हैं जो माता-पिता के उप-भाग हैं और इस प्रकार प्रत्येक छोटे सेट पर लैटिस के रूप में व्यक्त होते हैं। माता-पिता सेट, इस प्रकार इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराते हुए हमें एक ऐसा अप्रतिबंधित लट्टू का परिवार प्रदान करेंगे, जिसका उत्पाद हमारे माता-पिता के बराबर है (इस प्रक्रिया को प्रत्येक लट्टी के लिए समाप्त होना चाहिए, छोटे आकार के सेट पर होगा और परिभाषा के अनुसार कोई भी जाली जाली विडंबनापूर्ण है इसलिए अगर हम किसी भी तरह की जाली को कम करने के लिए एक तत्व पर सेट हो जाते हैं)।
इसके अलावा अगर कोई पूर्ण जाली $L_1\cong L_2\times L_3$है नहीं तो अलघुकरणीय lattices के एक Prdouct isomorphic को$L_2$ या $L_3$हैं न इस प्रकार पिछले प्रक्रिया हम किसी भी जाली देख लगाने से अलघुकरणीय lattices के एक उत्पाद isomorphic को नहीं अलघुकरणीय lattices के एक Prdouct isomorphic को भी sublattices अलघुकरणीय lattices के एक उत्पाद isomorphic को नहीं की एक अनंत संख्या होनी चाहिए ..
जवाब
के लिए वितरण lattices, वहाँ इन सवालों को समझने का एक काफी सरल तरीका है। अर्थात्, ध्यान दें कि यदि$L=A\times B$ दो अक्षांशों का एक उत्पाद है, तत्व $(1,0)$ तथा $(0,1)$ एक दूसरे के पूरक हैं (उनका जुड़ाव है $1$ और उनकी मुलाकात है $0$)। इसके विपरीत, यदि$L$ एक वितरण जाली है और $a,b\in L$ एक दूसरे के पूरक हैं, फिर $L\cong A\times B$ कहाँ पे $A=\{x\in L:x\leq a\}$ तथा $B=\{x\in L:x\leq b\}$। दरअसल, एक ऑर्डर-प्रोटेक्टिंग मैप है$f:L\to A\times B$ मानचित्रण $x$ सेवा $(x\wedge a,x\wedge b)$ और नक्शा $A\times B\to L$ भेजना $(x,y)$ सेवा $x\vee y$ के विपरीत है $f$ जबसे $L$ वितरण योग्य है।
इसलिए, यदि एक वितरण योग्य जाली में कोई अप्रतिष्ठित तत्व नहीं है, तो यह अप्रतिष्ठनीय है। किसी भी वितरण जाली में पूरक तत्वों का सेट$L$ एक बूलियन बीजगणित बनाता है जिसे मैं कॉल करूंगा $B(L)$। इसके अलावा, अगर एक वितरण जाली$L$ एक उत्पाद है $\prod_{i\in I} L_i$, फिर $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$।
विशेष रूप से, यदि $L$ (nontrivial) irreducible lattices का एक उत्पाद है $\prod_{i\in I} L_i$, फिर $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, प्रत्येक के बाद से $B(L_i)$ सिर्फ दो तत्व जाली है $\{0,1\}$। इसके अलावा,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ कहाँ पे $e_i\in L$ है $1$ पर $i$वें समन्वय और $0$ दूसरों पर, और इन तत्वों पर $e_i$ बस बूलियन बीजगणित के परमाणु हैं $B(L)$। इस पहचान के साथ, प्रक्षेपण$L\to L_i$ सिर्फ नक्शा है $x\mapsto x\wedge e_i$।
इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक वितरण जाली $L$ यदि नक्शा न हो तो इरेटीबल लेटिस के एक उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ एक समरूपता है, जहां $I$ के परमाणुओं का समुच्चय है $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, और यह $i$वें का समन्वय $f$ नक्शा है $x\mapsto x\wedge i$। अगर$L$ पूर्ण है, ये $L_i$स्वतः भी पूर्ण हो जाएगा। विशेष रूप से, के लिए एक आवश्यक शर्त$L$ के लिए isomorphic होना irreducible lattices के एक उत्पाद के लिए है $B(L)$ एक बिजली सेट बूलियन बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक होना।
इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि $L$ एक पूर्ण बूलियन बीजगणित है जो एक शक्ति सेट के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है, फिर $L$irreducible lattices का उत्पाद नहीं है। एक स्पष्ट उदाहरण के लिए,$L$ के नियमित खुले उपसमुच्चय की जाली हो सकती है $\mathbb{R}$, या Borel सबसेट के जाली $\mathbb{R}$ Lebesgue माप के modulo सेट $0$। एक अलग तरह के उदाहरण के लिए,$L$कैंटर सेट के खुले सबसेट की जाली हो सकती है। फिर$B(L)$ कैंटर सेट के क्लोपेन सबसेट का बूलियन बीजगणित है, जो परमाणु रहित है (और वास्तव में पूर्ण भी नहीं है)।
एक उदाहरण के लिए जहां $B(L)$ एक शक्ति सेट है लेकिन $L$ अब भी आपत्तिजनक जाली का उत्पाद नहीं है, आप ले सकते हैं $L$ के खुले उपसमूह का जाली होना $\beta\mathbb{N}$। फिर$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, लेकिन इसके परमाणु एकल हैं $\{n\}$ के लिये $n\in\mathbb{N}$ इतना नक्शा $L\to\prod_{i\in I}L_i$ जैसा कि ऊपर वर्णित है नक्शा है $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ का एक खुला सबसेट भेज रहा है $\beta\mathbb{N}$ इसके चौराहे के साथ $\mathbb{N}$, जो इंजेक्शन नहीं है।