इस अभिन्न के लिए सही परिणाम कैसे प्राप्त करें?

Question

वोल्फ्राम | अल्फा है, जहां तक ​​मुझे पता है, एकमात्र वेबसाइट जो इस अभिन्न को सही समाधान देती है ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ क्योंकि दिए गए फलन को मूल फलन के रूप में प्राप्त करते हैं।

यह उपाय है: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

हालांकि, इस वीडियो में, एक गलत परिणाम दिया जाता है, हालांकि एकीकरण प्रक्रिया सही लगती है। ऊपर के रूप में, आप जानते हैं कि परिणाम गलत है क्योंकि परिणामी फ़ंक्शन को प्राप्त करने के परिणामस्वरूप मूल फ़ंक्शन नहीं होता है जिसे हम एकीकृत करना चाहते थे।

मुझे सही परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है, लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे।

Answer 1

जैसा कि निनाद द्वारा बताया गया है, यह एक आंशिक समाधान है, वीडियो में उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया के बराबर है, जो केवल तभी मान्य है $$\cos\frac t2$$ सकारात्मक है ।

इस पहचान से शुरू करें:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ इसे इंटीग्रेशन पर लागू करने के लिए, पहले प्रतिस्थापन करें $t = \sqrt x$, फिर क्रमिक रूप से इस संपत्ति को लागू करें। $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$