इस "प्रमाण" में त्रुटि कहाँ है कि 3 = 0? [डुप्लिकेट]
मैंने इस वीडियो को (नीचे लिंक पर) देखा, एक माना "प्रमाण" के साथ$3=0$। यह इस प्रकार है:
लश्कर $x$ का एक समाधान हो $$x^2+x+1=0 \tag1$$
जबसे $x\neq0$, हम दोनों पक्षों को विभाजित कर सकते हैं $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
से $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
विकल्प $x+1=-x^2$ जांच $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ विकल्प $x=1$ जांच $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
वीडियो में दिया गया स्पष्टीकरण है
स्थानापन्न $x+1=-x^2$ जांच $(2)$ विलुप्त समाधान बनाता है $x=1$ जो मूल समीकरण का हल नहीं है $(1)$, $x^2+x+1=0$।
समीकरण$(1)$ तथा $(2)$ समाधान है $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, लेकिन प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण $(3)$ इन दो समाधान है और $1$।
मूल रूप से, यह कह रहा है कि मुद्दा प्रतिस्थापन है $x+1=-x^2$, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह वास्तव में समस्या है। कैसे एक कर सकते हैं प्रतिस्थापन एक मुद्दा कारण अगर प्रतिस्थापन से पहले सब कुछ सही है?
टिप्पणियों को पढ़ने के बाद, मैंने महसूस किया कि उनमें से कई कहते हैं कि असली मुद्दा यह है $(4)$, चूंकि $1=x^3$ इसका मतलब यह भी हो सकता है $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$। इन समाधानों पर विचार नहीं करना "प्रमाण" के साथ मुद्दा है। निष्कर्ष निकालने से पहले एक को इन समाधानों की जांच करने की भी आवश्यकता है, और जो भी सही हो उसे "पिक" करें।
तो, मेरा प्रश्न यह है कि उपरोक्त "प्रमाण" के साथ क्या समस्या है $3=0$?
वीडियो: "साबित" 3 = 0. क्या आप गलती को पहचान सकते हैं? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM।
जवाब
यह समस्या है $x^3=1$ इसका मतलब यह नहीं है $x=1$। समीकरण$x^3-1=0$ तीन संभव जड़ें और जड़ें हैं $x=1$ एक अतिरिक्त उत्पन्न जड़ है।
एक समीकरण के एक सदस्य को स्वयं में प्रतिस्थापित करना विदेशी समाधान पेश कर सकता है।
उदाहरण के लिए $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
आप ऐसा कर सकते हैं, बशर्ते आप प्रारंभिक समीकरण भी रखें।
सुरक्षित संचालन हैं:
दोनों सदस्यों के लिए एक शब्द जोड़ना;
एक गैर-कारक द्वारा दोनों सदस्यों को गुणा करना;
दोनों सदस्यों के लिए एक उलटा परिवर्तन लागू करना।
कुछ भी (जैसे दोनों सदस्यों को चुकता करना) देखभाल के साथ किया जाना चाहिए।
प्रतिस्थापन एक बाहरी जड़ पैदा करने में सक्षम है क्योंकि यह एक अपरिवर्तनीय कदम है। अर्थात यह स्पष्ट है कि यदि$x^2 + x + 1 = 0$, तो हमारे पास हैं $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, और प्रतिस्थापन द्वारा, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ हालांकि, रिवर्स सच नहीं है: यदि $-x^2 + 1/x = 0$, तो यह जरूरी नहीं है कि पकड़ $-x^2 = x+1$जिससे यह उसका पालन करे $x^2 + x + 1 = 0$।
वास्तव में, हम देखते हैं कि यह कैसे समाधान है $x = 1$ फिट बैठता है: यह संतुष्ट करता है $-x^2 + 1/x = 0$, लेकिन नहीं $-x^2 = x+1$।
एक और परिप्रेक्ष्य: प्रतिस्थापन को निम्नलिखित गुणा के साथ संक्षेपित किया जा सकता है: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ गुणा $x^2 + x + 1$ एक अन्य कारक द्वारा बहुपद को एक और जड़ दी है।
लश्कर $x\ne0$। फिर
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$सच हैं। परंतु
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$नहीं है* ! तार्किक परिणाम केवल दाएं से बाएं है।
जैसा कि कथानक पर दिखाया गया है, घटता है $-x^2$ तथा $-\dfrac1x$ अंतरंग करते हैं, लेकिन साथ नहीं $x+1$। आरएचएस के ऊपर दो को बराबर करके, आप जानकारी खो देते हैं और गैर-समाधान पेश करते हैं।
* यदि आप ऐसा सोचते हैं, तो यह कहना पसंद करेंगे
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ जो कुछ $c$।