इसके अलावा और गुणन के स्वयंसिद्ध परिणामों के प्रमाण के साथ मदद करें
व्लादिमीर ए। जोरिच द्वारा विश्लेषण 1 के माध्यम से पढ़ते हुए, मुझे इस प्रमाण का सामना करना पड़ा, जिसमें यह 1 चरण है जिसे मैं समझ नहीं सकता। यहाँ परिणाम और सबूत है:
हर एक के लिए $x\in \mathbb R$ निम्नलिखित सत्य है
$$-x=(-1)\cdot x$$
प्रमाण। $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$। धारणा एक संख्या के नकारात्मक की विशिष्टता से होती है।
प्रमाण का अंत।
अंडरब्रिज वाला हिस्सा वह है जिसे मैं समझने में असफल हूं। उस अभिव्यक्ति को बनाने के लिए किस जोड़ और गुणन के स्वयंसिद्ध शब्दों का प्रयोग किया गया था?
जवाब
ध्यान दें कि $1\in\Bbb{R}$ संपत्ति के साथ सेट का एक विशेष तत्व है जो प्रत्येक के लिए है $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$। अगला, हम सभी के लिए वितरण कानून का भी उपयोग करते हैं$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$। इसलिए, \ start {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {संपत्ति की संपत्ति$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ टैग {वितरण कानून} \ अंत {संरेखित करें} बाकी प्रमाण एक बार आपके द्वारा स्थापित करने के बाद$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$।
प्रमुख वितरण है: $a(b+c) = ab + ac$।
अतः प्रमाण इस प्रकार है:
$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (गुणात्मक पहचान के अस्तित्व और परिभाषा से)
$=(1+(-1))\cdot x$ (वितरण द्वारा)
$=0\cdot x$ (एडिटिव इनवर्स की परिभाषा द्वारा)
$=x\cdot 0$ (गुणन की समानता लेकिन मुझे पता नहीं है कि उसने ऐसा क्यों किया)
$= 0$(यह एक स्वयंसिद्ध नहीं है लेकिन एक प्रस्ताव सिद्ध किया जा सकता है कि$0\cdot x = 0$। क्या आपने अभी तक साबित किया है? क्या Spivak का उपयोग एक स्वयंसिद्ध के रूप में किया जाता है? "
फिर परिभाषा के अनुसार हमारे पास वह सबके लिए है $x$ वहाँ एक अद्वितीय मौजूद है $-(x)$ ताकि $x + (-x) = 0$।
अगर हम कभी ए $a$ ताकि $x + a = 0$ ऐसा होना ही चाहिए $a=-x$जैसा कि गुणक व्युत्क्रम अद्वितीय है। जैसा$x + (-1)x =0$ यह होना चाहिए $(-1)x = -x$।
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प्रोप: $x\cdot 0 = 0$।
पीएफ: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$। (हर)$a$, समेत $x\cdot 0$, एक योजक व्युत्क्रम है, $-a$, ताकि $a + (-a) =0$।)
$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ चूंकि $0$ योजक की पहचान है और $a +0 = a$ सबके लिए $a$, जब सहित $a$ है $0$।)
$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (Distributivity)
$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (संबद्धता)
$x\cdot 0 + 0 = 0$ (योगात्मक पहचान की परिभाषा)
$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ सबके लिए $a$ योगात्मक पहचान की परिभाषा द्वारा।)