इसके माध्यम से एक क्षैतिज पट्टी के साथ एक अभिन्न क्या है?
अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन की पुस्तक "हैंडबुक ऑफ़ मैथमेटिकल फ़ंक्शंस" में, मैं पहले कुछ समीकरणों में इस एकीकरण के प्रतीक के सामने आया, जो नीचे दिए गए घातीय अभिन्न कार्यों को परिभाषित करता है। क्या इसका मतलब कुछ भी है, या यह एक मुद्रण त्रुटि है?
जवाब
पाठ की डिजिटल कॉपी के अनुसार जो उपयोगकर्ता चैपर द्वारा लिंक किया गया था , यह नोटेशन कॉची सिद्धांत मान है। यह उपयोग पाठ के अंत में अंकन के विशेष रूप से व्यापक सूचकांक में सूचीबद्ध है - विशेष रूप से, विविध संकेतन लेबल वाले अनुभाग में ।
कॉची प्रधान मूल्य निश्चित "अनुचित" अभिन्न जो अन्यथा अपरिभाषित किया जाएगा करने के लिए एक मूल्य बताए का एक तरीका है। अगर$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ में एक विलक्षणता है $c \in [a,b]$, फिर कैची प्रिंसिपल मूल्य द्वारा दिया जाता है
$$ -\kern-9pt\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{\varepsilon\searrow 0} \left[ \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,\mathrm{d}x\right].$$
यदि समान परिभाषा लागू होती है $f$ अनंत में एक विलक्षणता है:
$$ -\kern-9pt\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x)\,\mathrm{d}x. $$
इस दूसरे मामले में, यह देखना आसान है कि कॉची प्रिंसिपल वैल्यू एक अनुचित इंटीग्रल के लिए एक मान असाइन करने के "सामान्य" विधि से कैसे भिन्न होती है। सामान्य सेटिंग में, हम परिभाषित करते हैं$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \lim_{b\to\infty} \int_{c}^{b} f(x),\mathrm{d}x, $$ कहां है $c$कोई भी वास्तविक संख्या है। इस मानक परिभाषा का उपयोग करते हुए, साइन फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एकीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, कॉची सिद्धांत मूल्य करता है मौजूद हैं:
$$ -\kern-9pt\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} \sin(x) \,\mathrm{d}x = 0, $$ चूंकि साइन एक विषम कार्य है।
यह भी अच्छी तरह से ध्यान देने योग्य है $-\kern-7.5pt\int$कॉची प्रमुख मूल्य के लिए मानकीकृत संकेतन नहीं है। इसके बजाय, अधिकांश लेखक संकेतन का उपयोग करेंगे$PV\kern-4pt\int$, या ऐसा ही कुछ। इसके अलावा, संकेतन$-\kern-7.5pt\int$कुछ अलग करने के लिए अन्य लेखकों द्वारा उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, पीडीई पर अपने पाठ में , इवांस उपयोग करता है$-\kern-7.5pt\int$ एक गेंद पर औसत अभिन्न को निरूपित करने के लिए, यानी $$ -\kern-9pt\int_{B(x,r)} f(y)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} f(y)\,\mathrm{d}y,$$ कहां है $B(x,r)$ में एक गेंद को दर्शाता है $n$केंद्र के साथ आयामी यूक्लिडियन स्थान $x$ और त्रिज्या $r$, तथा $\mu(B(x,r))$ निरूपित करता है $n$-उस गेंद का डायमेंशनल वॉल्यूम (लेब्सगेग माप)।