इसके साथ समस्या $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

मैं आखिरकार हल करने की कोशिश कर रहा हूं $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

अभिन्न के तहत भेदभाव का उपयोग करके। मुझे पता है कि यह अवशेषों का उपयोग करके सबसे आसानी से किया जाता है, लेकिन मैं इस समस्या को अपने उन्नत पथरी 2 / अंतर समीकरण छात्रों को कुछ दिलचस्प तकनीकों से परिचित कराने से पहले उनका विश्लेषण करना चाहता हूं।

अभिन्न के तहत पहली बार अंतर करने की ओर जाता है

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

Dirichlet अभिन्न और फिर से का उपयोग करके

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

इस दूसरे क्रम के ODE को हल करने के लिए हमें दो प्रारंभिक स्थितियों की आवश्यकता होगी। के लिए अभिन्न$I'(\alpha)$ गलत परिणाम की ओर जाता है $I'(0) = 0$ लेकिन फिर से लिखे गए संस्करण के सही परिणाम की ओर जाता है $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$। मुझे इसे सही ठहराने में परेशानी हो रही है।

किसी भी मदद या मार्गदर्शन की सराहना की है। मैं भी क्यों के रूप में सरल तर्कों के लिए समझौता करेंगे$I'(0) \neq 0$।

Answer 1

आप ऐसा मान रहे हैं $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ लेकिन अगर $\alpha=0$, तब फिर $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ तो, समानता $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ सच है iff $\alpha>0$।