का अभिसरण सिद्ध करना $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [डुप्लीकेट]
$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$
सिद्ध है कि अनुक्रम अभिसरण है।
मैं इस अनुक्रम के अभिसरण को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन परेशानी हो रही है। पहले तो मैंने सोचा कि यह एक मोनोटोन अनुक्रम हो सकता है तब से मैं मोनोटोन अभिसरण प्रमेय को अपने अभिसरण को साबित करने की कोशिश कर सकता हूं।
लेकिन कुछ शब्दों की जाँच के बाद, मुझे लगा कि यह अनुक्रम दोलन कर रहा है। इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि इस अनुक्रम के अभिसरण को कैसे साबित किया जाए।
धन्यवाद।
जवाब
यह अनुक्रम एक कौची अनुक्रम है इसलिए यह अभिसरण करता है।
पहले आप देखिए $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$पुनरावर्ती संबंध से। [$a_1=1$ तथा $a_{n+1}$ को सकारात्मक शब्दों में जोड़ा गया है]
दूसरा तब से $a_n>0$ इस प्रकार $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $
अब विचार करें \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}और यह कौड़ी क्रम है। [इस फॉर्म के साथ श्रृंखला को संकुचन कहा जाता है और दोहराने के बाद उसी प्रक्रिया को लागू करना जारी रखता है$|a_2-a_1|$, और निचोड़ प्रमेय द्वारा आप आसानी से अनुमान लगा सकते हैं $a_n$ एक कौची अनुक्रम है]
में $\mathbb{R}$कॉची अनुक्रम का तात्पर्य धर्मान्तरित से है इसलिए यह अभिसरण करता है। फिर मर्यादा लेकर$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ अपने पास $\alpha^2 = 2$ और यहां ये $a_n>0$, $\alpha = \sqrt{2}$।
दोलन अनुक्रमों के साथ एक विधि अक्सर उपयोगी होती है: आज्ञा देना $b_n=|(a_n)^2-2|.$ फिर $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ इसलिये $1+a_n\ge 2$ पर प्रेरण द्वारा $n$।
इसलिए $b_n$ तक घट जाती है $0$। इसलिए$(a_n)^2\to 2$ प्रत्येक के साथ $a_n>0.$
के लिए प्रेरणा "$2$की परिभाषा में $b_n$ क्या वह आई.एफ. $a_n$ एक सीमा तक परिवर्तित $L$ तब फिर $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ आसन्न $L^2=2.$