"का अर्थ है" गुणांक के समरूपता के कारण, यदि $x=r$ का एक शून्य है $x^4+x^3+x^2+x+1$ फिर $x=\frac1r$ एक शून्य भी है ”

Aug 16 2020

मैं फैक्टरिंग के बारे में इस जवाब का अध्ययन कर रहा था $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

लेखक का कहना है: "एक क्लीनर बीजीय दृष्टिकोण यह ध्यान देना है कि गुणांक के समरूपता के कारण, यदि $x=r$ का एक शून्य है $x^4+x^3+x^2+x+1$ फिर $x= {1\over r}$ एक शून्य भी है "

और अंततः वह लिखता है $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

सवाल $1$: गुणांक के समरूपता का क्या अर्थ है?

सवाल $2$: क्या हम इसके लिए एक ही तरीका अपना सकते हैं $x^4-x^3+x^2-x+1$? (मैं पूछता हूं क्योंकि यह मेरे अन्य प्रश्न के लिए प्रासंगिक है:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

जवाब

5 JoséCarlosSantos Aug 16 2020 at 17:58

के गुणांक की सूची$$x^4+x^3+x^2+x+1$$है $(1,1,1,1,1)$, जो सममित है (यदि आप इसे उल्टा करते हैं, तो आपको समान सूची मिलेगी)। दूसरे शब्दों में, यह प्रकार की एक सूची है$(a,b,c,b,a)$। और अगर$r(\ne0)$ की एक जड़ है$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$फिर$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$और इसीलिए$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$भी; दूसरे शब्दों में,$\frac1r$ की जड़ भी है $(1)$। इसलिए, जब तक कि जड़ों में से एक नहीं है$\pm1$ (जो अपने स्वयं के व्युत्क्रमों के बराबर संख्याएँ हैं), $(1)$के रूप में लिखा जा सकता है \ start {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2 \ छोड़ दिया (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ छोड़ दिया (x ^ 2 \ छोड़ दिया (आर '+ \ frac1 {आर'} \ right) x + 1 \ right)। \ अंत {} multline

विशेष रूप से, $x^4-x^3+x^2-x+1$ के रूप में लिखा जा सकता है$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$ढूढ़ने के लिए $a$ तथा $b$, सिस्टम को हल करें$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

3 cr001 Aug 16 2020 at 17:57

मूल प्रश्न का उत्तर देने के लिए, सोचने की प्रक्रिया निम्नानुसार है:

(१) यदि $r$ के लिए एक समाधान है $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, फिर $r^4-r^3+r^2-r+1=0$

(२) दोनों पक्षों को विभाजित करके $r^4$ आपको मिला $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$। इसलिये$1\over r$ इसका भी हल है।

(३) इसलिए यदि $(x-r)$ बहुपद का एक कारक है $(x-{1\over r})$ भी एक कारक है।

(4) इसलिए समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(५) इसलिए इसे लिखा जा सकता है $(x+ax+1)(x+bx+1)$