का एकीकरण $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Question

मैं एकीकृत करना चाहता था $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$।
मुझे पता है कि वह क्या है$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ जहां योग बिल्कुल खत्म हो गया है $2^{n-1}$ संभव के $\pm$।
लेकिन स्पष्ट रूप से यह एकीकृत करना कठिन है।
से इस , मैं बारे में पता चला वर्नर के सूत्र जो मैं काफी लगता है कम से ऊपर समस्या को हल करने जटिल। लेकिन मुझे नहीं पता कि इस फॉर्मूले को मनमाना कैसे बनाया जाए$n$ दी गई समस्या के लिए।

अग्रिम में मेरी मदद करने के लिए धन्यवाद।

Answer 1

आपका प्रश्न है: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ हम कोशिश कर सकते हैं और इस तथ्य का उपयोग करें कि: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ और फिर कहें: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ यह पहला भाग करना काफी आसान है: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ अब कठिन हिस्सा गणना कर रहा है: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ और फिर स्पष्ट रूप से जो कुछ भी परिणाम है उसे एकीकृत करना